Metoda půlení intervalu

Pro daný interval $I$ v $R$ a pro reálnou funkci $f$ na $I$ najděte řešení $x\in I$ rovnice

 

Číslo $x$ se nazývá kořen rovnice (1).

Příklad 1. Určete přibližně všechny kořeny rovnice

z intervalu $(0.1,7)$.

Představu o počtu a přibližný odhad hodnot kořenů poskytne grafická metoda, založená na vyjádření dané funkce $f(x)$ ve tvaru rozdílu funkcí, jejichž grafy lze snadno schematicky znázornit. Například

Z grafického znázornění na Obr. 1 lze odhadnout, ze rovnice má dva kořeny

Obrázek 1

$x_1\doteq 0.5$ a $x_2\doteq 5.2$. Přesnější informaci poskytne tato zkouška:

Protože hodnoty funkce $f$ mají v bodech $0.5$ a $0.3$ opačná znaménka, leží kořen $x_1$ v intervalu $(0.3,0.5)$. Zbývající dva řádky vedou k závěru, že kořen $x_2$ leží v intervalu $(5.2,6)$. Viz Obr. 2. V úvaze bylo využito této

Obrázek 2

základní vlastnosti funkcí spojitých na uzavřeném intervalu:

Věta 1. Jestliže funkce $f$ je spojitá na uzavřeném intervalu a platí-li , pak v otevřeném intervalu $(a,b)$ leží alespoň jeden kořen rovnice $f(x)=0$.

Metoda půlení intervalu je založena na opakovaném použití Věty 1. Je použitelná za předpokladu, že jsou dána malé číslo a interval $(a_0,b_0)$ tak, že

Metoda vytváří posloupnost intervalů

tak, aby vždy . $n$-tý krok metody najde střed

intervalu . Jestliže , výpočet skončí. Je-li , pak z předpokladu plyne, že platí právě jedna z podmínek

1.

položí se $a_n=a_{n-1}$, $b_n=s_n$

2.

položí se $a_n=s_n$, $b_n=b_{n-1}$

3.

$f(s_n)=0\dots$ výpočet skončí.

Výslednou aproximací kořene je číslo $s_n$.

Pro metodu půlení intervalu lze velmi snadno posoudit rychlost konvergence. Na začátku výpočtu splňuje kořen $x$ podmínku

a po $n$ krocích je

Tedy v každém kroku se odhad chyby zmenší dvakrát.

Příklad 2. Kolik kroků metody půlení intervalu je třeba k tomu, aby se odhad chyby zmenšil desetkrát?

Protože po $n$ krocích se odhad chyby zmenší $2^n$ krát, hledáme nejmenší hodnotu $n$ tak, aby $10<2^n$. Protože , je pro zmenšení chyby desetkrát třeba provést čtyři kroky metody půlení intervalu.

Příklad 3. Kolik kroků metody poskytne kořen $x_1$ z Př. 1 s chybou menší než $10^{-3}$?

Hledáme tedy $n$ tak, aby

Je tedy nutno provést alespoň 7 kroků metody půlení. Doporučený způsob záznamu výpočtu je ilustrován v této tabulce:

Tedy , přesněji .

Použití metody lze procvičit ve cvičení metoda půlení intervalu.