Test č. 2

Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
zimní semestr 2001/2002

Mongeovo promítání na dvě k sobě kolmé průmětny

Rýsujte tužkou na formát A4, kladívkový papír není nutný. Vždy vypište text příkladu a své jméno v horní části, druh studia v dolní části. Konstrukci doplňte stručným slovním popisem postupu.

Vyřešte následující základní úlohy. Budou od Vás znovu požadovány jako součást zkoušky a jejich úspěšné absolvování je součástí zápočtu.

Základní polohové úlohy:

1.příklad
  1. Určete stopy roviny r, určené dvěma různoběžkami aºAC, bºAB, A(0, 22,18), B(8, 0, 29), C(18, 10, 0).
  2. Bodem M veďte rovinu a, rovnoběžnou s danou rovinou! M(0, 33, 18), r(-50, 22, 38).
  3. Určete průsečík Q přímky q s rovinou r! q=QP, Q(-60, 20, 28), P(0, 5, 0), ρ(-24, -56, 19).
  4. Je dána rovina r, přímka m s rovinou r různoběžná a bod R, který neleží ani v rovině r, ani na přímce m. Sestrojte takovou přímku b, aby procházela bodem R, dále aby byla ještě rovnoběžná s danou rovinou r a ještě aby také proťala danou přímku m! R(10, 14, 27), r(-44, 16, 28), m=MN, M(-40, 19, 34), N(14, 0, 7).
  5. Určete stopy roviny r, je-li tato rovina dána bodem A a přímkou b! A(20, 16, 27), b = PB, P(12, 9, 0), B(50, -8, 30).
  6. Určete průsečík Q přímky m s rovinou a! m = MR, M( -3, 0, 25), R(-60, 22, 11), a(-26, 14, -50).
  7. Určete průsečík Q přímky m = KR, K(-50, 14, 35), R(0, 27, 8), s rovinou dvou rovnoběžek a//b, a = PA, P(-50, 39, 0), A(0, 14, 62), b ÎB, B(-20, 12, 0).
2. příklad
Sestrojte (i s vyznačením viditelnosti) zásek dvou trojúhelníků DABC a DMKL! A(-38, 12, 47), B(9, 52, 13), C(31, 18, 34), M(0, 53, 61), K(-27, 25, 21), L(35, 6, 0).

Ze základních metrických úloh:

3. příklad
  1. Určete vzdálenost d bodu M od dané roviny a! M(-50, 50, 40), a(-60, 35, 55).
  2. V dané rovině r leží body A, B. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jestliže i jeho třetí vrchol C bude ležet v dané rovině! r(50, 60, 30), A(10, ?, 15), B(-10, 60, ?).
    Poznámka: bod, ležící v rovině nesmí být zadáván najednou oběma průměty, chybějící průmět se naopak musí odvodit, aby opravdu takový bod ležel v dané rovině (tj. problém hlavních přímek takové roviny)!
  3. Je dána úsečka s koncovými body A(-27, 42, 24), B(0,  17, 13) a mimoběžná přímka m = PN, P(41, 100, 0), N(-23, 0, 58). Sestrojte rovnoramenný trojúhelník DABC, aby jeho třetí vrchol ležel právě na přímce m!

Složitější úlohy, vedoucí ke konstrukcím obrazců, těles či řezů:

4. příklad
Sestrojte řez roviny r s kosým kruhovým válcem. Kosý kruhový válec má podstavu v půdorysně o středu S(-46, 33, 0), horní podstava (v rovině rovnoběžné s půdorysnou) má střed 1S (47, 77, 80), r=21. Rovina r (23, -8, 5).

Pokyny: Užijte osové afinity. Najděte S´= S1S Ç r a poté dvojici vzájemně kolmých průměrů v kruhové podstavě. Vyznačte některou afinní dvojici sdružených průměrů. Vyhledejte obrysové body U, V vzhledem ke 2. průmětu a obrysové body K, R vzhledem k 1. průmětu. (Časový odhad půl hodiny při znalosti věci).

5. příklad
Zobrazte rotační kužel, jsou-li dány body A, B, C kružnice podstavy a je-li výška kužele v = 80. A( -10, 75, 0), B(33, 40, 20), C(0, 95, 63).

Pokyny: Sestrojte rovinu aºABC (pomocí stopníků). Všechny 3 body otočte do půdorysny okolo půdorysné stopy roviny a (užívejte přitom afinity). Trojúhelníku, jehož vrcholy jsou otočené body A, B, C opište kružnici. Tuto kružnici zpětně (afinitou) odvoďte do 1. průmětu (dostanete elipsu). Hlavní osa elipsy v 2. průmětu je stejně dlouhá a rovnoběžná s nárysnou stopou roviny a. Vedlejší osu odvoďte proužkovou konstrukcí.

6. příklad
Sestrojte průsečíky přímky b s kosým kruhovým válcem: b=RQ, R(-84, 66, 0), Q (-40, 38, 60). Střed O(0, 60, 0), r=35 kruhové základny v půdorysně. Směr povrchových přímek o=OL, L(-50, 33, 52).

Pokyny: Přímkou b proložíte rovinu //j s površkami válce [po volbě libovolného bodu HÎb zavedete HÎo˘//o (bodem H rovnoběžku o˘ s přímkou o)]. Vyhledáte půdorysnou stopu této roviny j= b.o˘. Rovina j protne válec ve dvou rovnoběžných površkách e, f. Jejich půdorysné stopníky jsou průsečíky kruhové základny s půdorysnou stopou roviny j. Průsečíky těchto površek e, f s přímkou b jsou hledané průsečíky X, Y přímky b s válcem. Vyznačte viditelnost přímky b a průsečíků X a Y. (Časový odhad půl hodiny při znalosti věci).

7. příklad
Průsečíky přímky b s kulovou plochou: b=PQ, P(-20,18,0), Q(30,50,75), střed kulové plochy S(0,60,50), poloměr r=40.

Pokyny: přímkou b1 proložte rovinu l, kolmou k půdorysně (druhá alternativa je: kolmou k nárysně - konejte jen jednu alternativu). Rovina l řeže kouli v kružnici m.Vyznačte průměr kružnice m1 (je to úsečka). Najděte střed M1 na m1. Sklopte přímku b1 do (b) a kružnici m1 do (m) [nejdříve však (M)]. Vyhledejte průsečíky (X) a (Y) kružnice (m) a přímky (b). Promítacími přímkami odvoďte X1 a Y1, později X2 a Y2.
Vyzkoumejte viditelnost průsečíků X a Y vzhledem k oběma průmětnám. Vzhledem k 1. průmětu viditelnost rozhodne rovník kulové plochy a poloha bodů X a Y vzhledem k rovníku (posoudíme v druhém průmětu nebo ve sklopeném obraze). Poloha hlavní kružnice na kulové ploše, ležící v rovině rovnoběžné s nárysnou rozhodne o viditelnosti průsečíků X a Y vzhledem ke 2. průmětu. Je-li průsečík X nebo Y k pozorovateli blíže než je střed kulové plochy, je viditelný. (Časový odhad 1 hod. při znalosti věci).

8. příklad
Řez kulové plochy rovinou r. Kulová plocha má střed S(0,52,50), r=43. Rovina j(62,57,70).

Pokyny: Zavedeme třetí průmětnu m buď kolmou k p nebo k n středem kulové plochy či poněkud odsunutou. Tedy např. kolmou k p: potom poloha třetí průmětny (promítá se do přímky m1) je kolmá k půdorysné stopě p1r. Sestrojíme třetí průmět r3 roviny řezu (bude jím přímka) a třetí průmět kulové plochy (tady začneme od středu S3). Třetí průmět středu M3 kružnice řezu je patou kolmice k3 , vedenou kolmo na rovinu řezu r3. Protože kružnice řezu se promítá (v 3. průmětu) do úsečky, ihned zjistíme průměr této kružnice. Odvodíme do 1. průmětu M1. Dále použijeme znalostí o průmětu kružnice v nakloněné rovině r (je-li dána středem M a velikostí poloměru). Viditelnost vůči 1. průmětu pomůže rozhodnout hlavní přímka I hr první osnovy roviny řezu r. Obdobně viditelnost vůči nárysně hlavním přímka II h r druhé osnovy (časový odhad 2-3 hodiny při znalosti věci).

9. příklad
Sestrojení krychle z daných podmínek. Stěna krychle leží v rovině a(-60,70,50) a je dána vrcholem B(70,30,?). Dále je řečeno, že hrana krychle má ležet na přímce b, procházející bodem B. Přitom odchylka přímky b od půdorysny je j= 30o. Délka hrany krychle d=40.

Pokyny: odvodíme B2 (hlavní přímkou). Sestrojíme rotační kužel o vrcholu B, podstavě v půdorysně a odchylce povrchových přímek j=30o od půdorysny. Kruhovou základnu kužele protneme s půdorysnou stopou roviny  ve stopníku Pb přímky b. Spojením stopníku s bodem B získáme přímku b. (Ta nyní splňuje už podmínku, že - díky kuželu - svírá odchylku j s půdorysnou a přitom leží v rovině a, takže může nést hranu krychle). Nyní otočíme do půdorysny nejdříve bod B a potom i přímku b. V otočení sestrojíme čtverec o straně d=40, jehož jeden vrchol je otočený bod (B) a strana leží na otočené přímce (p). Osovou afinitou (p1a je osou afinity, B1 a otočený bod (B) je dvojicí afinních bodů) odvodíme první průmět čtverce. Jeho nárys hlavními přímkami. Vybereme vhodné místo a sestrojíme spádovou přímku první osnovy (kolmou na půdorysnou stopu p1a), sklopenou do půdorysny. Kolmo na ni odvodíme sklopenou kolmici (k). Na kolmici někde vyznačíme úsek d=40 a odvodíme délku prvního průmětu (třetího rozměru krychle). Tuto délku rozneseme kružítkem na všechny hrany (které jsou spolu rovnoběžné a současně kolmé k rovině a). Samostatně sklopíme spádovou přímku druhé osnovy do nárysny a i na ni odvodíme sklopenou kolmici (k). Zase vyznačíme délku třetího rozměru hrany pro nárys. (Časový odhad 4 hodiny při znalosti věci).

Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vrácené opravené poštou přes děkanát. Poznámka při opravách "znovu" znamená je přerýsovat. Látka příkladů 1 až 3 je vybrána jako ukázka. Bez znalosti takových základních úloh nemůžete obdržet ani zápočet. K zápočtu je třeba mít odevzdané opravené příklady a předvést (pod dohledem učitele) znalost "základních úloh" z každé projekce.

Aktualizace dne 04.06.2002
Copyright © Ústav Ma-DG

Left Up Right