Test č. 8

Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
3. (poslední) test z letního semestru 1999/2000

Šroubové plochy

1. příklad :

V Mongeově projekci zobrazte Archimedovou serpentinu, která je určena:

pravotočivou šroubovicí šº(o, v_o) středu S kružnice kº(S, r), osa o šroubovice prochází bodem Q kolmo k půdorysně, QÎo^p, redukovaná výška závitu (čili parametr šroubového pohybu čili výška řídicího kužele) v_o=15mm; S(0, 110, 0), r = 20, Q(0, 80, 0).

a) Sestrojte oba průměty plochy, tj. obrys plochy v nárysně a v půdorysně.
b) Plochu ukončete normálním řezem půdorysnou.

Návod :

Archimedovou serpentinu vytvoří kružnice k(S,r), podrobená šroubovému pohybu tak, že střed S této kružnice opisuje šroubovici š a rovina šroubované kružnice k pro každou polohu kružnice je trvale kolmá ke šroubovici (tudíž je kolmá k tečně šroubovice).

Je však pohodlnější tuto plochu rýsovat jako obalovou plochu kulových ploch k, k', k'', k'''... stejných poloměrů a jejichž středy S, S', S'', S'''... vyplňují danou šroubovici š a jsou totožné se středy šroubované kružnice k. Každá z těchto kulových ploch se dotýká zevnitř (přiléhavěji technicky: "otírá") Archimedovy serpentiny právě podél uvedené kružnice k.

Proto také postupně axonometrický obrys každé šroubované kulové plochy (vidíme jej jako obrysovou kružnici přímo narýsovanou kružítkem) se zúčastní (svými dvěma protilehlými body) vytváření křivky axonometrického obrysu serpentiny.

Prvním obrysem (obrysem vzhledem k půdorysně): nejdříve sestrojíme kružnici š₁ o středu Q₁, aby procházela bodem S₁. Potom narýsujeme mezikruží ke kružnici š₁, (tudíž další dvě soustředné kružnice ke kružnici š₁, avšak zvětšené a zmenšené o poloměr r).

Do nárysny se šroubovice š₂ promítá jako sinusoida s osou o₂. (Další křivka, vzdálená od původní křivky o konstantní délku r - vzdálenost by se měřila kolmo na jednotlivých normálách k původní křivce - se mj. obecně nazývá ekvidistanta.) Nárysem serpentiny jsou tudíž dvě ekvidistanty s +/- poloměrem r.

a) Sestrojení obou průmětů šroubovice š (podrobněji):

1. Redukovanou výšku závitu v_o (čili parametr šroubového pohybu nebo také výšku řídicího kužele) převedeme na jednu dvanáctinu výšky závitu (viz 1. př. minulého 7. testu) nejdříve takto (stručně):

   1. Kochaňského rektifikací stanovíme polovinu obvodu kružnice š₁.
   2. užijeme stejnolehlosti dvou pravoúhlých trojúhelníků pro vyjádření poměru na odvěsnách pravoúhlých trojúhelníků:
      poloměr r:v_o= polovina rektifikovaného obvodu kružnice š₁: neznámé polovině výšky v závitu. Získáme tak tuto polovinu v/2 výšky závitu.

   Onu polovinu výšky závitu pak rozdělíme graficky na 6 dílků = jedna dvanáctina v/12 výšky závitu v.

2. V náryse potom stanovíme hladiny se vzájemnou vzdáleností po jedné dvanáctině výšky v. (Protože šroubovice š začínáme šroubovat z půdorysny - z bodu S - nahoru, hladiny také začínají od půdorysny a sice i s očíslováním).

3. Očíslujeme ve smyslu pravotočivém (čili zde, v 1. průmětu proti chodu ručiček hodinek) jednotlivé dvanáctiny, s označením S₁ jako výchozí nula.

4. Postupně vedeme z očíslovaným bodů šroubovice v půdoryse ordinály, které dotahujeme v náryse vždy až do hladiny o stejném čísle. Křivítkem vyrýsujeme v náryse šroubovici, procházející jednotlivými očíslovanými (dvanáctinovými) body, tedy onu sinusoidu š₂.

Sestrojení nárysu celé serpentiny:

5. V jednotlivých očíslovaných bodech šroubovice š₂ zabodneme kružítko a vytvoříme postupně 12 nárysů tvořících kulových ploch, tj. v nárysu jako obrysových kružnic. Oba dotykové body každé takové kružnice leží na normále sinusoidy š₂, vztyčované ve středu konkrétní obrysové kružnice. Tímto středem myslíme dvanáctinový bod sinusoidy š₂.

   Přibližný nárysný obrys vytvoříme křivítkem jako obalovou křivku těchto kružnic (tato obálka vytváří dvě ekvidistanty, paralelní křivky v kolmé vzdálenosti +/- r od sinusoidy š₂). Je ale třeba dobře postřehnout průběh čar (např. podle literatury Vala, Holáň aj.), protože ve výškovém rozsahu jedné výšky závitu obdržíme na vnitřní části obrysu celkem 4 "body vratu", křivka se v 2. průmětu v takovém bodě láme. (První dva body vratu se nacházejí v rozsahu těsně za druhou dvanáctinou a těsně před čtvrtou dvanáctinou, počítáno od půdorysny. Třetí bod vratu je těsně za osmou a čtvrtý těsně před desátou dvanáctinou.)

   Zde je na místě zcela upozornit a doporučit barevné videopořady o šroubových plochách, na minutáž velmi rozsáhlé, svědomitě a názorně natočené kolektivem katedry Dg na fak. strojní ČVUT. Lze je shlédnout na FAST Brno, Veveří 95, videostudovna, do 17 hod., v pátek do 14 hod. A pro zájemce z Čech také v Praze na fak. strojní, Karlovo nám. Nebo koupit v prodejně skript v areálu ČVUT v Dejvicích.

Řez rovinou kolmou k ose šroubovice (tzv. "normální řez"), zde řez specielně půdorysnou p:

6. Vyrýsujeme ještě asi jednu čtvrtinu výšky závitu dolů, pod půdorysnu. Tzn. V náryse přidáme hladiny pod osu x a očíslujeme -1, -2, -3. Sestrojíme také vepsané tvořicí kulové plochy těchto nových hladin. Všimněme si nyní v nárysu, že asi v rozsahu +/-0, 1, 2 tyto kulové plochy jednotlivě protínají půdorysnu. Každá kulová plocha ovšem v kružnici g jiného poloměru (protože se kulová plocha různě "potápí" pod půdorysnu. Tyto poloměry můžeme v náryse vyčíst přímo na ose x (v nárysu se jeví jen jako úsečky na konkrétní kulové ploše).

   Řez rovinou půdorysny lze potom vytvořit jako obalovou křivku (tzv. "obálku") několika kružnic typu g, ve kterých jednotlivé kulové plochy serpentiny právě protínají půdorysnu. Pojednat o rozsahu takového řezu se vymyká z možnosti tohoto textu, existuje případně v další literatuře. Roli zde hraje nejvyšší a nejnižší bod kružnice k (její rovina je kolmá ke šroubovici š, viz začátek textu). Přešroubování nejnižšího bodu kružnice k do půdorysny by mělo za následek začátek normálního řezu a přešroubování nejvyššího bodu zase ukončení řezu. V literatuře se toto popisuje na rozvinuté šroubovici š. Tvar řezu přibližně připomíná "fazoli", případně "zahnutý rohlík" (to závisí na porovnání poloměru kulové plochy vzhledem k poloměru šroubovice š).

7. Nahoře ukončete serpentinu vyrýsováním tvořící kružnice k, se středem v bodě šroubovice s číslem 12. Jejím půdorysem bude elipsa (s jednoduchou konstrukcí, protože rovina kružnice k je v této poloze kolmá k nárysně).

2. příklad :

V Mongeově projekci zobrazte cyklickou šroubovou plochu (v literatuře známou pod historickým názvem "plocha klenby sv. Jiljí" = název je historický, podle stavebního uplatnění v jisté stavbě). Bylo jí použito pro propojení dvou valených kleneb (v různých úrovních) točitým schodištěm. Na klenbu (tj. půlkružnici) by ovšem navazovalo a bylo použito také jen šroubování horní půlkružnice.

V úloze je určena levotočivou šroubovicí šº(o, v_o) uplatněnou na střed S (polomeridiánové) kružnice kº(S, r). Tuto kružnici k podrobíme šroubovému pohybu. Rovina kružnice k prochází osou o šroubovice, ale kružnice samotná osu neprotíná (má natolik malý poloměr r=27, že k ose o ani nedosahuje). Vyrýsujte jen čtvrtinu výšky závitu, tj. podle očíslování mezi hodnotami 0 až 3 pro šroubovaný střed S.

[Počátek systému je uprostřed stránky, osa o^p šroubovice prochází bodem Q(0, 80, 0), kružnice k má střed S(-55, 80, 27) a poloměr r=27, výška řídicího kužele v_o=20mm].

1. Sestrojte půdorys plochy.
2. Sestrojte nárysný obrys plochy.
3. V bodě T plochy sestrojte tečnou rovinu t a vyrýsujte obě stopy tečné roviny.

Řešení:

a) Sestrojte půdorys plochy:

1. Vyrýsujeme první tvořící kružnici k₁, její rovina prochází osou o₁ a bodem S₁ a promítá se do úsečky o délce 2r. Koncovými body této úsečky vyrýsujeme v půdoryse mezikruží o středovém úhlu jenom 90^o, tj. tři dvanáctiny. Vyznačíme úsečky = průměty kružnic v první a druhé dvanáctině.

2. Sestrojíme nárys šroubovice š₂ (podle předcházejících textů, musíme ovšem odvodit jednu dvanáctinu výšky závitu z velikosti výšky řídicího kužele v_o). Měli bychom dostat sinusoidu s body, označenými 0, 1, 2, 3 přičemž 3 je zakryt za osou o₂.

3. Sestrojíme postupně nárysy kružnic k₂, ... o středech (označíme stručně 1 a 2), tj. druhá a třetí dvanáctina (nárysem budou elipsy). Pomůže nám půdorys: hlavní osa těchto elips je rovna poloměru r, vedlejší osu musíme omezit užitím ordinál z půdorysu (zde si zopakujte látku z Monge projekce o průmětech kružnice).

   Elipsy musíme vyrýsovat co nejvěrněji.

b) Sestrojení nárysu plochy:

4. Obrysovou čarou v náryse bude obalová křivka (obálka) uvedených elips. Obrysovou čáru začněte u tvořících kružnic k₂, ... se středem S₂, ... a ukončete u osy o₂.

c) Sestrojení tečné roviny t:

5. Na některé kružnici o středu v poloze 1 nebo 2 v půdoryse zvolíme bod T₁. (Oceňuje se, pokud vyberete mezipolohu mezi některými dvanáctinami...). Odvodíme jeho nárys T₂. Zde si můžeme vybrat ze dvou možností: buď na horní polovině elipsy nebo na dolní.

   Užijeme větu: tečná rovina t v bodě T je určena různoběžkami: tečnou g tvořící kružnice k v bodě T a tečnou t šroubovice b v bodě T. Tato šroubovice b je ovšem nová, musíme ji trochu vyrýsovat (bude procházet bodem T).

6. Tečna g₁ splývá s 1. průmětem kružnice k₁. Tečna g₂ je tečnou narýsované elipsy k₂.

   (Buď pro g₂ užijeme ohnisek a půlení úhlu průvodičů nebo lépe: místní osové afinity mezi touto elipsou a afinní kružnicí, jestliže osou afinity bude např. hlavní osa této elipsy, 1. semestr). Připravíme půdorysný stopník P^g₁ tečny g.

7. Tečna t šroubovice b (postup je popsán v minulém 7. testu, proto jen heslovitě):

• sestrojíme šroubovici b₁ bodem T₁ (je to soustředná kružnice);
• v bodě T₁ sestrojíme tečnu t₁ kružnice b₁;
• v náryse naneseme výšku v řídicího kužele na osu o;
• připojíme povrchovou přímku m řídicího kužele tak, aby v prostoru bylo m//b, tj. m₁//b₁ (vyhledáme s ohledem na to, že šroubovice je - podle zadání - levotočivá!). Polohy m₁ jsou možné dvě, jedna z nich ale je chybná, promyslete;
• podstava řídicího kužele splývá s průmětem b₁;
• průsečík b₁ a m₁ je půdorysný stopník P^t₁ tečny t₁;
• odvodíme jeho nárys na osu x a označíme P^t₂;
• jeho propojením s vrcholem V₂ řídicího kužele obdržíme tečnu t₂;
• na ose x vyhledáme stopník P^t₂ této tečny t₂ a ordinálou odvodíme jeho půdorys P^t₁ na t₁;
• Nyní máme u různoběžek g a t oba půdorysné stopníky (případně nárysné stopníky bychom řešili podle základních úloh Monge projekce). Jejich propojením obdržíme půdorysnou stopu tečné roviny, tj. p^t₁ºP^g₁P^t₁.
• Dokončíme případně i nárysnou stopu n^t₂ (vychází-li na nákresnu).

Označení písmenky dodržte, aby učitel ušetřil čas při opravách.

Aktualizace dne 05.06.2002
Copyright © Ústav MA-DG