Test č. 7

Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
2. test z letního semestru 1999/2000

Šroubové plochy

1. příklad :

V kolmé axonometrii D (100, 110, 120) zobrazte jeden a čtvrt závitu "pravoúhlé uzavřené šroubové plochy", která je určena pravotočivým šroubovým pohybem úsečky AB. Šroubový pohyb je dán osou o, totožnou s osou z a redukovanou výškou závitu v_o.

Poznámka: v_o se také v literatuře nazývá "parametr šroubového pohybu" nebo-li "výška řídicího kužele" (viz literatura).

V jednom bodě T(0, 30, ?) sestrojte tečnou rovinu t (včetně jejich stop).

[ A( 0, 40, 0), B( 0,0,0), v_o = 15 mm ], přibližná poloha levého vrcholu X axonometrického trojúhelníka je od spodního okraje papíru formátu A4 70 mm a od levého okraje 50 mm.

Návod :

1. Axonometrický půdorys šroubovice š (kterou opisuje bod A) je kružnice š₁, promítající se ovšem v kolmé axonometrii jako elipsa se svou hlavní osou kolmou na o º z (poloměr r se promítá ve skutečné velikosti, tj. r = AB = 40).

2. Průsečík rovnoběžek s osami x, y (rovnoběžek vedených koncovými body hlavní osy elipsy) určí obecný bod elipsy š₁. (Je tedy š₁ určena hlavní osou a obecným bodem. Pokračujeme proužkovou konstrukcí pro určení vedlejší osy)

3. Abychom š₁ rozdělili stejnoměrně např. na 12 dílů, přiřadíme afinní kružnici (š) nad hlavní osou elipsy š₁, kterou proto zvolíme za osu afinity. Směr afinity je kolmý k ose afinity, vedlejší vrchol elipsy š₁ je afinní k bodu na kružnici (š), přičemž jejich spojnice musí být kolmá k ose afinity.

4. Jednotlivé body elipsy můžeme vyvozovat

   a) pomocí principu nositelek = přímek, procházejících jednotlivými body kružnice (š) a přímek k těmto přímkám afinních

   b) můžeme však také řádně a přesně elipsu křivítkem předrýsovat a prostým protínáním kolmým směrem ke hlavní ose elipsy z bodů kružnice (š) odpovídající body na elipse vyhledat.

5. c) Na otočenou osu [z] v otočené pomocné průmětně např. y.z;

   d) a na sklopenou osu (z) (při sklopené ose (z) by šlo o Skuherského metodu); naneseme redukovanou výšku závitu v_o = 15 mm a na osu z ji promítneme jako v^o_o (tj. již axonometricky zredukovanou, zmenšenou).

   [Podle 5c) bychom promítali rovnoběžně s osou x; podle 5d) bychom promítali kolmo k ose z.]

   [Podle 5c) bychom promítali rovnoběžně s osou x; podle 5d) bychom promítali kolmo k ose z.]

6. Uvažme pomocný pravoúhlý trojúhelníček se svislou odvěsnou o délce v^o_o º VL (pozor!: tedy o axonometricky zredukované délce a nikoli 15 mm!) a vodorovnou odvěsnou, rovnou poloměru r a s koncovými body K, L. Vrchol s pravým úhlem je tedy označen právě L. Lze jej narýsovat i stranou. Na prodlouženou vodorovnou odvěsnu z vrcholu K vynesme délku pr. To je rektifikovaná délka polovičního obvodu kružnice (š), vyšetřená Kochaňského rektifikací. Potom malý trojúhelníček DVKL je podobný (a stejnolehlý) s trojúhelníkem, jehož vodorovnou odvěsnou je právě délka pr. Jeho svislá odvěsna už určuje posuv odpovídající k pootočení o pr, tj.o polovinu obvodu. Přitom půjde již o posun taktéž axonometricky zkrácený (zredukovaný), hovoříme o axonometricky zredukovanou polovinu výšky závitu.

7. Na vodorovnou odvěsnu lze ovšem nanést ihned i jednu dvanáctinu obvodu

   e) (a to buď přibližně kružítkem jako tětivu obloučku jedné dvanáctiny kružnice (š)

   f) nebo tuto rektifikovanou dvanáctinu zjistíme přesně Sobotkovou rektifikací.

8. Připravíme si ve vyznačených (dvanáctiny) bodech elipsy povrchové přímky (válce, na kterém je šroubovice umístěna). V bodě A je nulová výška, označíme 0. V každém dalším sousedním bodě (vzdáleném o jednu dvanáctinu obvodu) naneseme vždy jednu dvanáctinu axonomometricky zredukované výšky závitu navíc (celkem 15 dílků!).

9. Vyrýsujeme příslušných 15 poloh šroubované úsečky AB.

10. Konstrukce tečné roviny t. Má se dotýkat v bodě T. Proto jej nejdříve odvodíme (z jeho souřadnic) na příslušnou polohu úsečky AB. Užijeme věty: "Tečná rovina přímkové šroubové plochy je tvořena touto přímkou a tečnou šroubovice š*, která prochází právě bodem T".

11. Začneme konstrukcí řídicího kužele, příslušného ke šroubovici š* bodu T. Poloměr jeho základny je roven vzdálenosti šroubovice š* od osy o (zde 30 mm).

12. Odpočítáním od bodu T₁ (zpětně proti stoupání šroubovice) o úhel 90^o po kruhové základně řídicího kužele získáme bod P (zde - při našem zadání bodu T - bude ležet na ose x). Spojnice do počátku, tj. POºm₁ je první průmět povrchové přímky řídicího kužele. Právě ale takové přímky, která je s hledanou tečnou t rovnoběžná. Tedy spojme P s vrcholem V kužele, PVºm.

13. Konečně vedeme bodem T rovnoběžně tečnu t s touto povrchovou přímkou m kužele. Její půdorysný stopník P^t bude průsečík axonometrického obrazu m a jejího půdorysu m₁.

14. Protože zde speciálně je šroubovaná úsečka rovnoběžná s půdorysnou p, stává se pro tečnou rovinu t její hlavní přímkou první osnovy, ^Ih^t. Proto půdorysná stopa tečné roviny povede půdorysným stopníkem tečny t a sice rovnoběžně s uvedenou hlavní přímkou AB tečné roviny. Další dvě stopy dorýsujeme s použitím vědomosti: vždy dvě stopy se protínají na příslušné souřadnicové ose x nebo y nebo z.

2. příklad :

V Mongeově projekci zobrazte jeden závit "normální cyklické plochy", (tj. vinutý sloupek), která vznikne šroubovým pohybem kružnice kº(S,r). Pravotočivý šroubový pohyb je určen osou o^p jdoucí bodem Q a redukovanou výškou závitu v_o.

a) Zobrazte tři čtvrtiny závitu.
b) Sestrojte řez plochy rovinou r(110, 90, 67) - bodově a v jednom bodě řezu sestrojte tečnu řezu (jako průsečnici tečné roviny t a roviny řezu r.
[S(0, 75, 0), r = 30, Q(0, 50, 0), v_o = 20]

Návod :

1. Kružnice k, která je podrobena šroubovému pohybu, leží v rovině kolmé k ose šroubového pohybu. Střed S této kružnice opíše šroubovici š a např. body A(0, 40, 0), B(0, 100, 0) na kružnici k opisují své šroubovice, označme je a, b. Tyto šroubovice a, b mají společnou osu o, šroubovice a má nejmírnější stoupání (sklon) a šroubovice b zase naopak nejprudší. Současně půdorysy a₁, b₁ vytvářejí první obrys plochy. Nárysným obrysem plochy jsou sinusoidy m₂, n₂, které jsou shodné s nárysem šroubovice š₂ a snadno je vyrýsujeme posunutím o plus, minus poloměr r kružnice k ve směru základnice x doleva a doprava. V prostoru půjde o šroubovice m, n, vzniklé současným šroubováním bodů K(0, 70, -30), L(0, 70, 30) kružnice k (jde tedy o takové body kružnice k, které jsou na jejím nárysu zcela nalevo a zcela napravo, koncové body úsečky k₂). Půdorysy těchto šroubovic m, n nemusíte vyhledávat.

2. Vyznačte v obou průmětech 9 poloh (odpovídá to požadovaným třem čtvrtinám) šroubované kružnice b. (Musíte ovšem před tím z hodnoty v_o odvodit jednu dvanáctinu výšky závitu.)

   Proto:
   Podle předešlého příkladu odvoďte trojúhelníček s odvěsnami: poloměr šroubovice je y_S-y_Q=20 a v_o=20.
   Odtud zjistěte jednu dvanáctinu výšky závitu (zase stejnolehlostí dvou trojúhelníčků).

3. V úrovních jednotlivých poloh kružnice k připojte i hlavní přímky první osnovy roviny r řezu. V každé hladině vzájemně v prvním průmětu spolu protněte.

4. Odvoďte v každé hladině nárysy těchto průsečíků.

5. Dostanete v obou průmětech body čáry řezu. Pospojujte. Vyznačte viditelnost. Nejvyšší (a nejnižší) body čáry řezu vyhledejte zkusmo.

6. Tečna řezu w: je průsečnice tečné roviny a roviny řezu.

   Vyberme na některé poloze k¢ šroubované kružnice k právě bod T čáry řezu. Tečnou rovinu ve vybraném bodě T tvoří tečna t šroubovice; šroubovice prochází bodem T. Dále ještě tečna q vodorovné kružnice k¢. Tečna q je proto také vodorovná a musí tedy být zároveň hlavní přímkou první osnovy tečné roviny (ukáže nám později směr půdorysné stopy).

   Tečnu t šroubovice sestrojíte podle úvah předešlého příkladu (komentář by se opakoval).

7. Protože pro obě roviny r a t vyrýsujete i půdorysné stopy, najdete potom i průsečík P^w těchto stop , což je půdorysný stopník hledané tečny w. Máme tedy už tečnu čáry řezu. Tuto tečnu w odvoďte i do nárysu, w₂=P₂T₂ .

Označení písmenky dodržte, aby učitel ušetřil čas při opravách.

Aktualizace dne 05.06.2002
Copyright © Ústav MA-DG