Obsah

Metoda prosté iterace

spočívá v převedení systému rovnic (11) na soustavu

ekvivalentní s (11) na některé podoblasti v . Označíme-li

vznikne vektorový zápis

formálně shodný se zápisem , používaným při řešení jedné rovnice pro jednu neznámou metodou prosté iterace. I v tomto případě tedy počáteční aproximaci zvolíme a počítáme

Z obecných úvah o iteračních metodách víme, že pokud posloupnost postupných aproximací konverguje k bodu , je řešením úlohy (12) a tedy i řešením úlohy (11).

Poznámka 1. (Kritérium pro ukončení) Použije se jedno z těchto kritérií:

a)

zvolí se a výpočet se ukončí, jakmile

b)

zvolí se a výpočet se ukončí, jakmile .

Poznámka 2. Funkce a je třeba volit tak, aby norma Jacobiovy matice

byla co nejmenší. Lze snadno ověřit, ze vektorová funkce je kontrakce na některé oblasti , když zobrazuje do a norma pro . Podle Věty o kontrakci je pak konvergence tím rychlejší, čím menších hodnot tato norma nabývá.

Příklad 2. Grafickou metodou určete počet kořenů systému rovnic

a hrubé odhady jejich hodnot. Metodou prosté iterace určete jeden z kořenů s chybou menší, než 0.0005.

Protože

lze ze schematického znázornění grafu těchto funkcí na Obr. 5 zjistit, že úloha má dvě řešení, jejichž přibližné hodnoty jsou

Obrázek 5

Tedy Jacobiova matice vektorové funkce je

a její řádková i sloupcová norma má hodnotu . Protože a , použijeme vyjádření (13) pro zpřesnění kořene . Předpis má tedy tvar

Výpočet se ukončí, jakmile . Průběh výpočtu je zaznamenán v této tabulce:

Za účelem procvičení řešení soustav nelineárních rovnic metodou prosté iterace lze použít cvičení metoda prosté iterace pro dvě rovnice o dvou neznámých.

   
  Obsah