Jacobiova metoda

hledá pro danou -tou aproximaci a pro -tou souřadnici -té aproximace jako tu hodnotu , pro niž je splněna rovnice

tj.

Příklad 1. Systém rovnic řešte Jacobiovou metodou: Z (7) plyne

Průběh výpočtu je zaznamenán v následující tabulce. Výpočet skončil po osmadvaceti krocích, jakmile .

Situace, kdy se dvě posledně vypočtené iterace shodují, nemusí vždy nastat. Proto se pro ukončení výpočtu doporučuje toto kritérium: Zvolit číslo a výpočet ukončit, jakmile . Zde je některá norma vektoru.

S grafickou ilustrací myšlenky Jacobiovy metody v případě dvou rovnic pro dvě neznámé je možné se seznámit ve cvičení Jacobiova iterační metoda.
Ilustrace ukazuje, že hodnota je zvolena tak, aby vektor vyhovoval první rovnici a hodnota je zvolena tak, aby vektor vyhovoval druhé rovnici daného systému.

Maticový zápis předpisu (7) pro řešení úlohy (6) Jacobiovou metodou je

Věta 6. Jestliže pro některou normu matic konzistentní s odpovídající normou vektoru platí , pak Jacobiova metoda konverguje.

Důkaz. Protože metrický prostor , kde je úplný, stačí si všimnout, že

Tedy je kontrakce v s koeficientem .

Ukážeme, že podmínky Věty 6 jsou splněny pro tuto třídu matic:

Definice. Matice řádu se nazývá silně diagonálně dominantní, když

Důsledek. Je-li matice silně diagonálně dominantní, pak Jacobiova metoda pro řešení úlohy (6) konverguje.

Důkaz. Tvrzení plyne z Věty 6 a z nerovnosti

   
  Obsah