Konstrukce sítě, pláště kosého kruhového kužele,
specielně konstrukce bodů jeho rozvinuté kruhové hrany

Poznámky jsou použitelné v Testu č.6, LS 2000/2001

Jednotlivé body kruhové hrany jsou očíslovány a převáděny do sítě postupně, zcela samostatně.

Kosý kužel je nahražen dvanáctibokým jehlanem; čím více vrcholů podstavy jehlan bude mít, tím tato náhrada bude přesnější a tím přesnější bude i síť. Užijeme nejméně dvanácti vrcholů, jehlanu.

Kužel pomyslně rozstřihneme podél površky v jeho rovině souměrnosti, může to být površka (podle očíslování) 1V nebo 7V. Zvolíme 7V, naopak površka 1V bude v důsledku toho v síti uprostřed a proto ji umístíme na papír uprostřed, protože síť bude vznikat na obě strany.

# OBR. 1 : Povrchová přímka se stopníkem 1

Povrchová přímka se stopníkem 1 je dotykovou přímkou tečné roviny a a protože površka je kolmá k půdorysné stopě p^a , je také spádovou přímkou tečné roviny a.

zavedeme středem S kolmici k k rovině podstavy, nyní tedy k půdorysně p. protneme touto kolmicí tečnou rovinu a v bodě 1W. změříme vzdálenost od stopníku 1 k bodu 1W= 1p. To bude poloměr oskulační kružnice, měřený vždy na spádové přímce, která je zde výjimečně i jako površka). úhel mezi površkou a stopou pt je pravý, 90o - přenáší se do sítě ve skutečné hodnotě. délka površky v síti se shoduje s délkou površky v náryse, protože površka je s nárysnou rovnoběžná a tudíž se jeví ve skutečné velikosti.

# OBR. 2 : Površka se stopníkem číslo 7

Také tady je površka kolmá ke stopě p^b, protože je v osovém řezu souměrnosti roviny SV kosého kužele

zavedeme bodem S kolmici k získáme průsečík 7W kolmice k s rovinou b, ten je nyní pod půdorysnou, protože rovina b je "vyvrácená" změříme 77W= 7p ... poloměr oskulační kružnice úhel mezi spádovou přímkou = površkou se stopníkem 7 a stopou je i zde pravý = 90o také zde je površka s nárysnou rovnoběžná a bude se jevit ve skutečné velikosti. Do sítě ji ale nyní ještě nemůžeme přenášet, protože bude až poslední površkou na konci sítě.

# Princip sítě (zatím bez oskulačních kružnic):

Pro síť musíme zjistit skutečnou délku každé obecné površky. To se dá udělat nejjednodušeji prostým jejím sklápěním do půdorysny. Délky obloučků na kruhové podstavě jsou všechny stejné a my je můžeme (s jistou nepřesností) nahradit jejich tětivami. Nyní postupně klademe vedle sebe boční stěny jehlanu (ten je náhradou za kužel). Narýsujeme si v síti první površku 1V (ve skutečné velikosti). Od vrcholu V na této površce v síti vynášíme kružítkem oblouček a v kružítku máme skutečnou délku další površky 2V. Z bodu 1 kružítkem vynášíme pak zase oblouček a v kružítku máme délku tětivy (jedné dvanáctiny), až se oba obloučky protnou. Průsečík těchto dvou obloučků je bod 2. Připravíme délku 3V, nachystáme pro 3V oblouček. Kružítkem budeme také dbát, aby délky tětiv 12, 23, atd. byly stále stejné. Nezapomeneme, že síť bude symetrická a proto vždy sestrojujeme body, vzájemně souměrné, jsou to např.:2a 12, dále 3 a 11, dále 4 a 10 atd.

# Obr.3.a) : Površka se stopníkem 3 je již obecná

V dalším budeme mít obecnou površku. Práce s touto površkou se dá aplikovat (když by bylo třeba, u nás nepožadujeme) na každou další obecnou površku. Nyní površka není spádovou přímkou (je zde odkloněna doprava od spádové přímky) a vrchol V tudíž už na spádové přímce neleží.

• zavedeme středem S kolmici k. Poloměr oskulační kružnice je však i nyní třeba měřit na spádové přímce s^g se stopníkem 3 (spádová přímka je ale vůči nárysně natočená, takže v náryse poloměr už nemůžeme změřit)

• zavedeme proto novou, třetí průmětnu l, rovnoběžnou s poloměrem na spádové přímce s^g (spádová přímka musí být kolmá ke stopě p^g a proto i nová třetí průmětna l a osa x_1,3 musí být kolmá k této stopě p^g

• novou průmětnu popíšeme pro sklápění jako osu x_1,3, umístíme ji do volného místa napravo od kužele, celkem kamkoliv. Je zvykem zavést tuto osu sklápění přímo vrcholem V kužele

• doprava a kolmo k ose sklápění sklopíme výšku vrcholu a označíme jako V₃, stopník 3=P této površky převedeme do třetího průmětu jako P₃. Spojením P₃V₃ získáme třetí průmět površky (tečná rovina g a její spádová přímka s^g₃ se také ve třetím průmětu promítá do této površky)

• odvodíme třetí průmět k₃ kolmice k, vedeme připraveným třetím průmětem S₃. Průsečík ³W=k₃ Çs ^g₃, (tedy průsečík kolmice s tečnou rovinou) poloměr oskulační kružnice je pak vzdálenost P₃³W.
  

# Převedení do sítě :

Především připravíme površku 3V. Koncepce: nejdříve musíme v síti od površky 3V odklonit o úhel j (o úhlu později) půdorysnou stopu tečné roviny g. Tato stopa přechází v tečnu rozvinuté kruhové hrany. Potom poloměr oskulační kružnice se bude vynášet k této tečně kolmo, koncový bod ³W. Do něj zabodneme kružítko a sestrojíme oskulační kružnici o poloměru P₃W₃ z třetího průmětu.
Nyní k úhlu j :
Jedná o skutečnou hodnotu úhlu mezi dotykovou površkou 3V a půdorysnou stopou příslušné tečné roviny. Ten se zásadně do sítě vždy převádí z tečné roviny ve skutečné velikosti (a každá tečná rovina postupně se sítí splyne). Protože úhel j je v nakloněné tečné rovině g, je v prvním průmětu zkreslen, menší. Abychom zjistili jeho skutečnou velikost, musíme tečnou rovinu g otočit do půdorysny kolem její půdorysné stopy p^g. Stačí, když otočíme vrchol V. K tomu nám dobře poslouží zde již využitá třetí průmětna. Poloměr je vzdálenost (měřená na třetím průmětu spádové přímky s^g₃ od stopníku P₃ po vrchol V₃). Vytvoříme kružítkem oblouček otáčení bodu V do půdorysny. Na prodlouženém 1. průmětu spádové přímky s^g₁ označíme kružítkem (otočený) bod [V]. První průmět površky c₁=PV₁ přejde do otočené površky [c]=P[V], čerchované. (Upozorňujeme na tomto místě, že otočená površka je zde ve skutečné velikosti, takže její délku můžeme srovnat s délkou již dříve nalezenou sklápěním. Vždy ale pro síť použijeme sklápění, případně ještě "další metodu", protože je to rychlejší. Tou "další metodou" (někdy stručně zvanou "jeřábová") rozumíme otáčení všech promítacích rovin,(rovin, kolmých k půdorysně) všech površek do polohy rovnoběžných s nárysnou. To se dá udělat otáčením okolo vertikální osy o, vedené společným bodem V všech površek. Takže nyní již mámě otočenou površku [c]. Mezi touto otočenou površkou a půdorysnou stopou je už hledaná skutečná velikost tohoto úhlu j. Tento úhel j kružítkem (zvolíme dva obloučky libovolných, ale stejných poloměrů a přes obloučky ještě užijeme shodně velké tětivy) přeneseme do sítě, obr.3b), a úhel vyneseme od površky 3V na správnou stranu (podle postupně kladených površek kužele do sítě), nejspíše bod 2 bude od bodu 3 nalevo a bod 4 od bodu 3 zase naopak napravo.

# Obr.4: Površka 4V, se stopníkem 4

V principu se zde postup neliší od površky 3V, zase půjde o obecný bod kruhové základny. Půdorysná stopa p^d₁ je nyní specielně rovnoběžná s S₁V₁ či s osou x_1,2. Zase užijeme pomocnou třetí průmětnu, stále ji budeme pro srozumitelnost označovat jako třetí, kolmou k půdorysné stopě p^d₁. Vedeme ji (úspora místa) vrcholem V₁. Sklopíme doprava vrchol V₁ do bodu V₃. Stopník 4=P₁ převedeme do P₃. Pomocný třetí průmět tečné roviny bude splývat s třetím průmětem spádové přímky P₃V₃=s^d₃ =d₃. Sestrojíme třetí průmět kolmice S₃V₃=k₃. (Vrchol V na kolmici v prostoru neleží, je zcela mimo napravo). Ve třetím průmětu tentokráte specielně je kolmice k₃ s vrcholem V₃ v zákrytu . Také průsečík ⁴W₃ bude v zákrytu s vrcholem V₃, tzn. ⁴W₃=V₃. Tudíž poloměr ⁴r=P₃ ⁴W₃.
Skutečná velikost úhlu j:
Poloměr otočení bodu V okolo půdorysné stopy p^d₁ měříme zase ve třetím průmětu (jako vzdálenost bodů P₃⁴W₃, zde specielně P₃V₃). Provedeme oblouček až nalezneme na prodloužené spádové přímce s^d₁ bod [V]. Tento bod spojíme se stopníkem P₁ površky. Tak přejde původní 1. průmět površky d₁=P₁V₁ do otočené površky [d]=P₁[V]. Její odchylka od půdorysné stopy p^d₁ je už skutečná velikost úhlu j, použitelná pro síť. (V síti zase vyhledáme površku 4V, kružítkem přeneseme tento úhel j a toto nové rameno úhlu označíme jako tečnu rozvinované kruhové hrany. Potom v bodě 4 této hrany sestrojíme kolmici a na ni naneseme předem změřený poloměr ⁴r, koncový bod označíme v síti jako ⁴W. Z tohoto středu sestrojíme opět oskulační kružnici.)

# Obr.5.: Inflexní bod J rozvinuté kruhové hrany

Má-li na okamžik přejít oskulační kružnice v inflexní tečnu=přímku, která změní znaménko křivosti rozvinuté kruhové hrany v opačné, křivost bude tedy opačná, obr.5b), musí mít tudíž v takovém okamžiku tato oskulační kružnice nekonečně velký poloměr. Aby došlo k nekonečně velkému poloměru, potom příslušný bod ^JW tečné roviny "nesmí být po ruce", musí naopak také být až v nekonečnu. Protože bod W je však zásadně průsečík kolmice k s tečnou rovinou, musí být nyní specielně tato kolmice k s tečnou rovinou přímo spolu dokonce rovnoběžná. Protože však kolmice k od začátku tvorby sítě zaujímá trvale kolmou polohu k rovině kruhové základny kužele, k půdorysně (a prochází stále středem S), nezbývá než připustit, že i tečná rovina musí být kolmá k půdorysně (aby si ponechala svoji rovnoběžnost s uvedenou kolmicí).
Hledáme tedy takovou površku JV, která svou tečnou rovinu bude mít kolmou k půdorysně. Toto je možné jen pro případ, že površka JV je pro pohled shora na půdorysnu právě obrysovou površkou. Abychom površku získali, vedeme bodem V₁ tečnu ke kruhové podstavě a vyznačíme její dotykový bod J₁ (na poloměru, kolmém k tečně). Bod J do sítě přeneseme interpolačně, tj. odhadneme jeho polohu na podstavě (mezi body 5 a 6), tyto body už před tím budeme v síti mít a potom mezi ně bod J umístíme. Připravíme v síti i površku JV. Nyní musíme vyhledat ve svislé tečné rovině l odchylku mezi površkou JV a půdorysnou stopou tečné roviny l (tato stopa s površkou má tedy společný 1. průmět). Stačí sklopit tečnou rovinu l o 90^o do půdorysny (v bodě V₁ kolmo k 1. průmětu površky vyneseme z-ovou souřadnici vrcholu), označíme sklopený bod (J). Spojením J(V) získáme sklopenou površku a ve sklopení uvidíme i její odchylku j od půdorysné stopy. Opět odchylku j přeneseme kružítkem do sítě (ve správném smyslu, podle průběhu rozvinuté hrany), nové rameno přeneseného úhlu je už inflexní tečna.

Konec příkladu

RNDr.Pavel Talanda,v.r.

Aktualizace dne 21.05.2002
Copyright © Jan J. Šafařík