Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST

Pokyny k základním úlohám PERSPEKTIVA - část 1

Obrázky jsou komentovány postupně, některé jsou očíslovány podle základních úloh PERSPEKTIVA. Zde uváděný komentář k obrázkům přebírá čísla 1 až 9, dále 16 až 20, uváděná shodně v příloze obrázků.

Kliknutím otevřete obrázek k úloze ve zvláštním okně v plné velikosti.

• Obr. 1

  -

  Skutečná velikost úsečky.

• Obr. 2

  -

  Kolmice b z bodu A na přímku a - vše leží v horizontální rovině.

• Obr. 3

  -

  Měření úseček na hloubkových přímkách.

• Obr. 4

  -

  Sestrojte vodorovné přímky, procházející body As, Bs, Cs a sice takové, aby ve skutečnosti svíraly tentýž úhel 60o s danou přímkou as.

• Obr. 5

  -

  Měření délek na přímce "frontální", "průčelné", tj. rovnoběžné s průmětnou, ale navíc skloněné k základní rovině p (např. úlopříčky průčelného obdélníka).

• Obr. 6

  -

  Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek, které však nejsou už hloubkové.

• Obr. 7

  -

  Krychle je určena danou horizontální hranou AsBs, (která je navíc ještě rovnoběžná se základnicí).

• Obr. 8

  -

  Úhel dvou horizontálních různoběžek asbs.

• Obr. 9

  -

  Sestrojte horizontální čtverec, je-li dán průmět jeho strany AsBs.

Kliknutím na obrázek získáte jeho plnou velikost ve zvláštním okně

Je dán perspektivní průmět úsečky s koncovými body A_sB_s. Prodloužíme úsečku k horizontu, až obdržíme úběžník U^a_s této přímky a_s (na horizontu proto, že předpokládáme vodorovnou polohu úsečky). Kružítko zabodneme do tohoto úběžníku, kružnici bude procházet sklopeným středem (S). Vytočíme na horizont, tato kružnice se jmenuje "dělicí" a vyznačí na horizontu dělicí bod Q^a (index musí být totožný s indexem "^a", který je u úběžníku = středu U^a_s této dělicí kružnice). Body A_s, B_s z tohoto dělicího bodu Q^a promítneme na základnici z do bodů, které označíme A', B'. Jejich vzdálenost je už skutečná velikost úsečkyAB.

Sestrojíme sklopený směrový paprsek (či "směrovou přímku"), označenou (a´) nebo také (a), tj. namísto "apostrofu" se označuje také pruhem nad písmenem - jako spojnici sklopeného středu (S) a úběžníku (U^a_s) přímky a_s. Protože požadovaná kolmice b musí mít svoji směrovou přímku b' kolmou ke směrové přímce a', musí se ve sklopení tento pravý úhel projevit ve skutečné velikosti. Připravíme tudíž nejdříve sklopenou směrovou přímku (b'): vedeme ji sklopeným středem (S) kolmo ke sklopené směrové přímce (a') -- opět sklopeným středem (S). Tato další přímka (b') vytne na horizontu (protože je rovněž vodorovná) další úběžník U^b_s. Perspektivní průmět b_s hledané přímky b musí tímto novým úběžníkem procházet. Prochází ovšem i daným bodem A_s, tj. b_s = A_sU^b_s.

Jejich úběžníkem je hlavním bod H a přímky jsou v prostoru kolmé k perspektivní průmětně. Proto pohlížíme na hlavní bod H jako na úběžník: Zabodneme do něj kružítko a teď opíšeme kružnici sklopeným středem (S). Poloměr této kružnice bude vyjímečně roven distanci. Průsečík s horizontem se tudíž může nazývat levý (resp. pravý) distančník , D^l, resp. D^p. Tento bod má proto funkci dělicího bodu právě pro hloubkové přímky. Obdobně - jako u obr. 1 - promítáme z tohoto dělicího bodu D^l body A_s, B_s a zase z pravého distančníku D^p také body E_s, F_s. Vybíráme ten ze dvou distančníků, u kterého polohy promítacích přímek jsou příznivější (mají větší úhel s příslušnou hloubkovou přímkou), aby se udržela co největší přesnost při rýsování.

Je zřejmé, že takové přímky budou mezi sebou rovnoběžné a budou mít společný úběžník U^b_s. Nejdříve sklopíme směrovou přímku (a') dané přímky a_s. I zde platí: (a') = (S)U^a_s. Úhel 60^o ve skutečné hodnotě ukáží obě sklopené směrové přímky. Proto novou sklopenou směrovou přímku (b') = narýsujeme s odklonem požadovaného úhlu (např. v kladném smyslu měření úhlu). Nejdříve tedy obdržíme (b') a tato vytne na horizontu nový úběžník U^b_s. Nyní už stačí postupně spojit každý daný bod A_s,B_s,C_s s úběžníkem U^b_s.

Je dán průmět úsečky A_sB_s a přitom platí, že B_1s = B_s, takže bod B leží v základní rovině p. Tento bod přesuneme např. hloubkovou přímkou (místo bodu H ale můžeme však zvolit každý jiný dostupný úběžník) na základnici a označíme jako B´. V druhém koncovém bodě A_s zavedeme další hloubkovou přímku (v případě volby obecného úběžníku by vedla zase takovým obecným). Tuto druhou přímku jen přiměřeně protáhneme. Z prostoru přijmeme poznatek, že průčelná přímka (tedy fakticky rovnoběžná s perspektivní průmětnou se po přesunu jako celek umístí v perspektivní průmětně a bude rovnoběžná se svým původní polohou, tedy i se svým původním perspektivním průmětem. Proto vedeme bodem B´ (na základnici) rovnoběžku "a" s přímkou A_sB_s a to tak dalece, až se protne s připravenou hloubkovou přímkou (vedenou bodem A_s) v bodě A´.
Vertikální úsečka B_sC_s má svůj průsečík (tj."kořen") se základní rovinou p v bodě A_s. Při jejím přesunu do průmětny musíme však dbát, aby tento bod A_s byl přesunut na základnici z, do polohy A´. Toto opět můžeme vykonat jakoukoli přímkou - zde byla však použita přímka hloubková. V průmětně stanovíme v bodě A´ vertikální přímku a dodatečně až k této protáhneme hloubkové přímky, vedené body B_s, C_s. Obdržíme pak v průmětně body B´, C´ . Protože tyto body leží v průmětně, tak jejich vzdálenost je už skutečná velikost úsečky AB.

Je více způsobů, jak lze šířku mezi těmito přímkami a_s, b_s poměřovat. Užijme např. metody "sklopeného půdorysu" těchto přímek: sestrojíme sklopenou směrovou přímku (a´) jako spojnici (S) s úběžníkem přímek U_s. Označme pro sklápění samodružné body těchto přímek - jsou to jejich stopníky P^a a P^b. V těchto stopnících povedeme rovnoběžky se sklopenou směrovou přímkou - přímky (a), (b) budou proto spolu rovnoběžné. Šířka mezi těmito sklopenými přímkami je hledaná vzdálenost.

Sousední hrany čtvercové podstavy jsou k hraně AB kolmé a tudíž jsou i kolmé k základnici z. Proto jsou hloubkové přímky o společném úběžníku v hlavním bodě H. Všimněme si funkce průsečíku D^p horizontu h s distanční kružnicí (o středu H a poloměru rovném distanci d). Nazývá se "(pravý) distančník".
* Je za a) : úběžníkem horizontálních přímek, které navíc svírají s průmětnou odchylku  45^o (= tedy např. úhlopříčky horizontálních čtverců s průčelnými a hloubkovými stranami).
* Dále je za b) : bod D^p je i dělicím bodem hloubkových přímek.
Využijeme za a): bodem A_s vedeme do úběžníku D^p úhlopříčku. Ta vytne na hloubkové přímce bod C_s. Stačí na rovnoběžce doplnit snadno i bod D_s. Nad tímto čtvercem vztyčíme především průčelný čtverec A_sB_sF_sE_s (stejné délky stran a pravé úhly jsou vždy u průčelného čtverce zachovány - i když "za osou x" zmenšeny oproti skutečnosti). Už jenom s použitím snadného principu rovnoběžnosti hran - a tudíž sbíhavosti do bodu H doplníme další dva chybějící vrcholy.

Připomeňme si, že směrové přímky a'//a, b'//b jsou s danými přímkami a, b v prostoru rovnoběžné (a procházejí středem promítání S). Proto i tyto směrové přímky svírají stejnou odchylku a jako přímky původní. Tyto směrové přímky můžeme nejen okamžitě uvážit - jako spojnice: a' = SU^a_s, b' = SU^b_s, ale také ihned sklopit (z jejich horizontální roviny, procházející horizontem h a středem S) o 90^o dolů do perspektivní průmětny. Stačí totiž spojit sklopený střed (S) s oběma úběžníky. Úhel a mezi sklopenými směrovými přímkami (a'), (b') je již hledaná odchylka.

Výjímečně je zde (z důvodu ukázky metodické pomůcky) postup očíslován. Prodloužením přímky A_sB_s k horizontu získáme úběžník U^a_s. Připojíme sklopenou směrovou přímku (a') = (S)U^a_s , tj. jako spojnici bodu (S) se získaným úběžníkem. Připojíme kolmo k přímce (a') bodem (S) další sklopenou směrovou přímku (b') a ta vytne na horizontu další úběžník U^b_s. Propojením A_sU^b_s a posléze i B_sU^b_s získáme průměty dvou rovnoběžných přímek, které jsou v prostoru také ještě kolmé i k určující straně A_sB_s.
* Nyní je na místě už změřit skutečnou velikost strany A_sB_s. K tomu použijeme dělicího bodu Q^a. [Bude to průsečík horizontu s dělicí kružnicí. Dělicí kružnice má svůj střed v úběžníku U^a_s a poloměr (S)U^a_s. Tedy tato kružnice prochází bodem (S).] Ze získaného dělicího bodu Q^a (označení indexy "^a" musí být důsledné - podle indexu u úběžníku U^a_s) promítáme koncové body A_sB_s až na základnici z. Vzdálenost mezi získanými průsečíky A' B' promítacích přímek na z je skutečná velikost úsečky.
*Abychom našli třetí bod C_s, musíme užít úlohu: "z bodu B_s naneste na přímku b_s jistou velikost, tj. A'B' a to od bodu B_s (ve smyslu: do hloubky prostoru)". Učiníme tak za pomoci nového dělicího bodu, který bude příslušný k této přímce b_s, přesněji: k jejímu úběžníku U^b_s (tedy nová dělicí kružnice má svůj střed v tomto úběžníku U^b_s, prochází zase sklopeným bodem (S) a vytne na horizontu dělicí bod Q_b). Nejdříve užijeme promítací přímku z dělicího bodu Q^b přes B_s až získáme tak na základnici první bod B'' (dva apostrofy užíváme pro odlišení od dřívějšího B', tj. s jedním apostrofem a dřívější akce). Od bodu B'' na základnici doleva, (tj. podle smyslu úsečky v prostoru) naneseme skutečnou velikost strany čtverce: kde ji máme uloženou? Je to ovšem úsečka A'B' z dřívější akce na z. Takže přeneseme její délku a od bodu B'' nalevo vyhledáme na základnici další bod C'', aby vzdálenost B''C'' byla stejná. Zpětným promítáním z dělicího bodu Q^b získáme na přímce b_s třetí bod C_s. Konečně čtvrtý bod D_s získáme podle principu rovnoběžnosti, protože strana D_sC_s a A_sB_s se sbíhají v úběžníku U^a_s.

RNDr. Pavel Talanda,
Ústav matematiky a deskriptivy
Fakulta stavební Brno

Aktualizace dne 03.06.2002
Copyright © Ústav Ma-DG