Test č. 9

Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
letní semestr 2000/2001

(čtvrtý a poslední test letního semestru)

Zborcené plochy

Při vypracování úloh se využijí následující poučky:
  • u plochy jednodílného hyperboloidu a hyperbolického paraboloidu je každá přímka jednoho systému přímek protínána všemi přímkami druhého systému přímek;
  • v každém bodě těchto ploch se kříží dvě různoběžné tvořící přímky plochy (jsou z opačných systémů přímek) a tyto různoběžky určují tečnou rovinu plochy s dotykovým bodem v jejich průsečíku;
  • při pohybu dotykového bodu tečné roviny po jedné z tvořících přímek se postupně tečná rovina okolo takové přímky otáčí (Chaslesův korespondenční princip, viz Š.Holáň, DG III. díl, str. 37. aj.Vala, DG II. díl, str 99).

nákresy k testu č. 9:
test9_1.jpg (40 kB) test9_2.jpg (28 kB) test9_3.jpg (32 kB)
Tento text si zde můžete stáhnout ve formátu .PDF a nebo .PS:
test9.pdf ( kB) test9.ps ( kB)

 

  1. Vypište zde všechny 3 možnosti, jakými útvary (kolika přímkami, rovinami) může být zadána zborcená plocha hyperbolického paraboloidu.

  2. Jakou vzájemnou polohu mají mezi sebou tvořící přímky jednoho systému na jednodílném hyperboloidu. Kolika tvořícími přímkami je tato plocha určena?

  3. Co je to Chaslesův korespondenční princip, vypište slovy:

  4. Jakou vzájemnou polohu zaujímají tyto tři přímky a, b, c v axonometrickém zobrazení, podle obr.4a), a dále v Mongeově projekci, podle obr. b) a c)?

    obr_9_4a.jpg obr_9_4b.jpg
    obr_9_4c.jpg  

    Návod: Jsou-li 3 přímky rovnoběžné (každá přímka zvláště) s jistou rovinou, (ale mezi sebou zůstávají vzájemně mimoběžné), pak určují hyperbolický paraboloid. Takovou polohu mimoběžek nazýváme "komplanární".

  5. Zborcená plocha je určena řídicí rovinou a a mimoběžkami a, b, podle obr. 5). Připište zde název této plochy. Dále sestrojte v bodě B tečnou rovinu t, která se dotýká plochy právě v bodě B!

    obr_9_5.jpg

    Návod: tečná rovina je tvořena přímkou b a přímkou z druhého (opačného) systému, zpravidla tedy čárkovanou. Dále platí: jsou-li dány dvě mimoběžné přímky plochy a řídicí rovina, pak přímky druhého systému (tudíž čárkované a v obr. nezadané), musí být rovnoběžné s danou řídicí rovinou.
    Poznámka: zadaná řídicí rovina je tam "kvůli možnosti tvořit přímky druhého, čárkovaného systému. V podstatě nahrazuje třetí přímku, která je nevlastní. Všechny přímky druhého regulu musí tuto nevlastní přímku protnout. Z toho plyne, že jsou rovnoběžné s řídící rovinou. Kdyby totiž byla chybně zadána řídicí rovina, patřící k systému přímek a, b, zborcená plocha by nebyla dostatečně zadána.
    Řídící rovinu, patřící k systému přímek a, b si sami kdykoli můžeme odvodit: zvolíme v prostoru pevný bod a v něm vedeme po jedné rovnoběžce s každou ze zadaných mimoběžek a, b. Tyto nové přímky jsou mezi sebou různoběžné a určují rovinu. Této rovině různoběžek říkáme "řídicí".
    Jde tedy o to, vést bodem B přímku druhého (čárkovaného) systému, ale rovoběžně s řídicí rovinou a. Bodem B vedeme posunutou rovinu a' || a (zavedením hlavní přímky nové roviny a' některé osnovy bodem B). Po sestrojení stop nové roviny a' , najdeme průsečík A druhé přímky a s rovinou a' . AB je přímka g´ čárkovaného systému, přímka je rovnoběžnou s rovinou a´. Takže nyní máme dvě různoběžky, protínající se v bodě B. Tím úkol končí. Pokud by bylo požadováno "sestrojit v bodě B tečnou rovinu", byla by už tvořena těmito různoběžkami t=b.g'.

  6. Hyperbolický paraboloid je zadán průměty dvou mimoběžek a, b a řídicí rovinou p (půdorysnou), při čemž je a1 || b1. Dále je dán T2 bodu T, který leží na ploše. Odvoďte chybějící půdorys T1! Podle obr. 6.

    obr_9_6.jpg

    Návod: vedeme bodem T2 přímku g' druhého systému, rovnoběžnou s řídicí rovinou p, takže g'2 je rovnoběžná se základnicí. Odvodíme pomocí jejích průsečíků s přímkami a, b také půdorys g'1 a na ordinále T1. Bodem T procházejí po jedné přímce g' a c z každého systému. Přímku c1 máme ihned: když a1 || b1 je i c1 || a1 || b1 (kvůli komplanaci u HP). Dále připravíme ještě nejméně jednu přímku m' čárkovanou (|| p), např. ležící přímo v p. (Půjde o spojnici půdorysných stopníků přímek a, b.) Přímka c1 na přímce m'1 vytne také svůj půdorysný stopník (protože se tyto přímky z opačných systémů ze zásady musí protnout a protože celá přímka m' leží v půdorysně.) Odvodíme nárys tohoto stopníku Pc2 a v náryse jeho propojením s bodem T2 získáváme nárys přímky c2.

  7. Hyperbolický paraboloid je určen mimoběžkami a, b a řídicí rovinou p (půdorysnou), podle obr.7. Přitom a1 || b1. Odvoďte nárys bodu M2, leží-li M na ploše a je zadán svým půdorysem M1.

    obr_9_7.jpg

    Návod: postupujeme podobně jako v 6.př.: nejdříve připravíme c1, M1 Îc1 || b1. Dále v náryse narýsujeme aspoň dvě přímky čárkované a odvodíme je do půdorysu. Vyhledáme v půdoryse dva průsečíky přímky c1 s čárkovanými přímkami. Odvodíme tyto dva průsečíky do nárysu na čárkované přímky. Propojením těchto průsečíků v náryse získáme i přímku c2 a na ordinále bod M2.

  8. Hyperbolický paraboloid je zde, podle obr. 8., zadán nakonec už velmi obecně: mimoběžky a, b, (které už nemají rovnoběžné první průměty) a řídicí rovinou p. Máme najít půdorys bodu A, ležícího na ploše, je-li dán jeho nárys.

    obr_9_8.jpg

    Návod: zavedeme bodem A2 čárkovanou přímku g'2 rovnoběžnou se základnicí (|| s p) a odvodíme její půdorys, včetně půdorysu bodu A1. S přímkou cÎA to bude však složitější: její půdorys nemůžeme dokonce ani odhadnout (komplanace přímek a, b, c na ploše hyperbolického paraboloidu - i když v prostoru určitě existuje - v prvním průmětu je zastřena). Pomůžeme si jistou grafickou "lstí" (je užívána i v literatuře a bez ní to ani nejde): na ploše tedy existují nyní vodorovné čárkované přímky (díky tomu, že p je jejich řídicí rovina). Jedna z čárkovaných přímek je sice vodorovná, ale navíc také kolmá k nárysně, nazveme ji r'^n. Stále - i zde - platí obecná věta: "Všechny přímky nečárkovaného systému jsou protínány přímkami systému čárkovaného".Tato přímka r' proto nutně protíná přímky a, b (protože vzhledem k nim patří do opačného systému). Protože ale r'^n, jeví se v náryse jen jako bod r'2. Oba průsečíky přímek a, b s přímkou r', ačkoli jsou od sebe různé, se v náryse promítají do jediného bodu r'2. Ten tedy musí potom být (pro oba nárysy přímek a, b) společným průsečíkem nárysů přímek a, b.
    Dále platí, že i přímka c (procházející bodem A) musí protínat přímku r' a její nárys proto musí procházet také bodem r'2, tedy c2=r'.A2 . Nárys přímky c již máme. Známe-li alespoň dvě čárkované přímky q', p', můžeme půdorys přímky c odvodit s jejích pomocí.
    V bodě T se kříží přímky c a g' . Tyto přímky určují tečnou rovinu t s bodem dotyku T s plochou. Najděte i stopy tečné roviny t.

  9. V obr. 9 je zadání hyperbolického paraboloidu převrácené. Řídicí rovinou je nárysna n a nárysy přímek a, b jsou spolu rovnoběžné. Dále je dán nárys bodu T. Odvoďte jeho půdorys a stopy tečné roviny pro tento dotykový bod T. Podrobný popis už neuvádíme, student by se měl postup odvodit a aplikovat kroky podle předcházejících úloh.

    obr_9_9.jpg

  10. Zde je plocha HP, obr. 10., určena zborceným čtyřúhelníkem A, B, C, D. Body L a Q leží na ploše. Odvoďte chybějící půdorys bodu L a chybějící nárys bodu Q.

    obr_9_10.jpg

    Návod: vyzkoumejte polohy řídicích rovin a z toho vyplývající zákonitost pro průměty tvořících přímek obou systémů. Potom už snadno zavedete danými průměty bodů jednotlivé průměty tvořících přímek a k těmto průmětům pak přiřadíte i chybějící průměty přímek.

  11. V obr. 11. si důsledně všímejte, že u zborceného čtyřúhelníka jsou strany AB a CD spolu v prvním průmětu rovnoběžné! Máte odvodit chybějící průmět bodu T, ležícího na ploše. Jistě to dokážete sami.

    obr_9_11.jpg

Zde končí základní úlohy na hyperbolický paraboloid a poučky, uvedené v úvodu. Další příklady jsou již aplikace, v principu použitelné ve stavebnictví.

  1. V obr.12. je dána v axonometrii přechodová plocha hyperbolického paraboloidu, propojující dva profily různých sklonů a a b. Máte sestrojit 8 tvořících přímek každého systému. Podotýkáme, že další stavební uplatnění, tomuto blízké, můžeme nalézt při zastřešení, jsou-li vodorovný hřeben a okapová hrana ve vzájemně mimoběžné poloze.

    obr_9_12.jpg

  2. Stejný úkol Vás čeká v obr. 13. Jde jen o jiný axonometrický pohled na tuto přechodovou plochu, tvořenou zborceným (prostorovým) čtyřúhelníkem, jehož strany leží na přímkách, popsaných takto: nakloněné a, b, vodorovná g' je v půdorysně a h' je vodorovná, ale horní strana. U plochy takto natočené vzhledem k pozorovateli získáme navíc i křivku axonometrického obrysu (tou bude parabola, jako obalová křivka axonometrických průmětů tvořících přímek). Váš úkol bude vybrat jednu tvořící přímku a konstruktivně najít na jejím axon. průmětu dotykový bod s obrysovou čarou (obrysový bod, bod přechodu viditelnosti).

    obr_9_13.jpg

    Návod: Užijete vlastnosti, že každou tvořící přímkou plochy prochází nekonečně mnoho tečných rovin a každá má svůj dotykový bod na jiném místě takové přímky (při postupu dotykového bodu po tvořící přímce se postupně také otáčí okolo tvořící přímky i příslušná tečná rovina = Chaslesův princip)
    Z promítacích metod víme, že prochází-li tečná rovina právě okem pozorovatele, je vzhledem k pozorovateli v tzv. "promítací poloze". Protože tečná rovina prochází přímkou, bude dotykový bod tečné roviny ležet na tvořící přímce. Dotykový bod se bude jevit jako bod přechodu a změny viditelnosti. Bude se jevit jako obrysový bod, ve kterém průmět tvořící přímky se dotýká obrysové čáry a proto mění svou viditelnost a průmět pak pokračuje jako neviditelný.
    Jak to prakticky provedeme? Označme v obr. přímky skloněné k půdorysně jako nečárkované a vodorovné budou naopak čárkované a hned dvě z nich, tj. strany čtyřúhelníka označme dolní g' a horní h'. Vyberme potom některou tvořící, např. čárkovanou, vodorovnou přímku m', ležící mezi přímkami g a h'.
    Pro vyhledání bodu přechodu viditelnosti na přímce m' musíme uvážit, že přímka m' je také průmětem tečné roviny (v promítací poloze, procházející okem pozorovatele) a tedy současně i průmětem další přímky c z opačného systému - nečárkované a nakloněné, právě také ležící v této tečné rovině. Nyní se zaměříme na tuto nečárkovanou přímku c. Představíme si, že c protíná např. vodorovné přímky g' v bodě P a přímku h' v bodě H. Máme nyní dvě různoběžky c a m', vzájemně se (vzhledem k pozorovateli) zakrývající. Doplníme ještě půdorysy přímek c a m'. Přímka c1 je dána body P=P1 a H1 (pomocí průsečíků P přímky c na straně g' a pomoci průsečíku H přímky c na straně h') a m'1 pomocí průsečíků přímky m' se stranou b a se stranou a, takže u všech těchto průsečíků odvodíme ordinálami jejich půdorysy. Propojením P s půdorysem H1 obdržíme půdorys c1 a u něj dbejme, aby byl rovnoběžný s a1 || b1. Pro kontrolu přesnosti je užitečné si uvědomit, že půdorys přímky m'1 musí směřovat do průsečíku půdorysů přímek p'1 a h'1, jde o obdobu z úlohy 8.př. a obr.8. a přímku r'.
    Půdorysy přímek m' a c se kříží v půdoryse dotykového bodu T. Ordinálou odvodíme nahoru na přímku m'=c, tedy na společný axonometrický průmět přímek m' a c definitivně i bod T. Toto je obrysový bod.

  3. Podle obr.14. je zadán v kolmé axonometrii (axon. trojúhelník volte sami) kruhový konoid a je ještě připojen informační obrázek v Monge (také viz J.Vala, DG II., str.97. a Š.Holáň, DG III., str.43). Řídicí kružnice k leží v souřadnicové rovině y.z, má střed S v počátku a poloměr r=30, řídicí přímka d prochází bodem Q[50,0,0] a je rovnoběžná s osou y, řídicí rovinou konoidu je nárysna x.z. Je dán ještě půdorys T1[25,20,?] bodu T, ležícího na ploše.

    1. Odvoďte bod T (užitím tvořící přímky m plochy) .
    2. Sestrojte řez e rovinou a ÎT, a || y.z. V bodě T sestrojte konstruktivně tečnu křivky e řezu.
    3. Dále sestrojte řez vertikální rovinou l, volenou bodem T, ale různoběžnou se souřadnicovými rovinami. Opět v bodě T sestrojte tečnu čáry tohoto řezu.

    obr_9_14.jpg

    Návod:
    ad a) tvořící přímka m konoidu bude rovnoběžná s řídicí rovinou x.z. Proto její půdorys m1 bude procházet daným půdorysem T1, rovnoběžně s osou x. Průsečík m1 s půdorysem k1 (na ose y) kružnice k označme M1.Ordinálou odvodíme na kružnici nahoru bod M. Půdorys m1 také protíná i řídicí přímku d v bodě P (d a P leží v půdorysně). Propojením m=PM získáme tvořící přímku m. Ordinálou z půdorysu T1 odvodíme na přímku m bod T.
    ad b) pro křivka e řezu v rovině, rovnoběžné s bokorysnou y.z platí, že 3.průmět křivky e3 bude afinně sdružený s kružnicí k=k3 a osou afinity bude osa y. Bod T3 bude afinní k jistému bodu T'3=M na kružnici (a na vertikále). V prostoru by šlo o kolmou afinitu. Připravíme-li např. nejdříve tečnu t' kružnice v bodě T'3 a vyhledáme-li také průsečík L této tečny t' na ose afinity y, pak zpětně spojnice LT3 je již afinní bokorys t3 (tečny t elipsy). Samotná tečna t je v prostoru s bokorysnou rovnoběžná, protože leží ve svislé rovině a || y.z, t || t3. Tečnu t rýsujeme tedy jako rovnoběžku s průmětem t3 bodem T. Dbejme však, aby stopník Pt se promítal v 3.průmětu do bodu L (PtL || x). Spojnice obou stopníků je už stopa tečné roviny t, pt = PmPt.
    ad c) křivku g řezu sestrojujeme postupně bodově, každý její bod jako průsečík jednotlivé tvořící přímky s rovinou řezu l. Je to snadné, protože rovina l je svislá. Označme na libovolné tvořící přímce q bod řezu Q (kdybychom použili přímku m, pak by bod Q se stal bodem T, takže pro přehlednost vybereme přímku q raději jinou). Tečna k řezu rovinou l v bodě Q je průsečnicí roviny l a tečné roviny plochy v bodě Q.
    Metodou jako pro bod T můžeme v bodě Q sestrojit tečnou rovinu tQ (Hledání tečné roviny tQ je zdlouhavé a opakuje se vše v bodě Q jako pro bod T: tj. bodem Q zavedeme rovinu b || y.z.Připojíme třetí průmět Q3, uplatníme afinitu na kružnici k, najdeme afinní bod Q' , dale afinní vztah mezi tečnami v bodě Q' a v bodě Q3. Konečně doplníme o tečnu w v bodě Q (rovnoběžnou s y.z). Stopník Pw této tečny a stopník Pq tvořicí přímky q určují stopu ps tečné roviny s s dotykovým bodem Q. Průsečík půdorysné stopy ps se stopou pl je už stopník Pc tečny c čáry řezu roviny l. Spojnice půdorysného stopníku Pc a bodu Q je už tečna c křivky řezu.

  4. Sestrojte v kolmé axonometrii, obr. 15., plochu násypky, tvořenou 4 díly (z nichž vždy dva a dva jsou symetrické) zborcené plochy Montpellierského oblouku. Každý takový díl je samostatně tvořen částí řídicí kružnice v půdorysně o středu v počátku, dále společnou řídicí přímkou o=z a vodorovnou řídící přímkou např. b (na ni leží strana vodorovného obdélníka). Jedná se tedy o přechodovou (ale nerozvinutelnou, zborcenou) plochu, propojující vodorovný obdélník či čtverec (vodorovná dvířka) s kružnicí (tj. ukončující svislé násypné potrubí). Máme tedy 4 Montpellierské oblouky, vzájemně na sebe navazující. Omezení a navázání na sebe u jednotlivých Montpellierských oblouků je ve svislých rovinách, procházejících úhlopříčkami AC, BD vodorovného obdélníka. Vaším úkolem je vyrýsovat tvořící přímky zborcené plochy ve všech 4 dílech. Přitom v každém dílu vyrýsujte nejméně 5 přímek, včetně krajních.

    obr_9_15.jpg

    Návod: Protože všechny tvořící přímky musí protínat i řídící přímku o=z a ta je (v našem příkladu) kolmá k půdorysně, budou všechny půdorysy tvořících přímek procházet půdorysem přímky o, tedy počátkem. Budou Proto prostými protahovanými průměry kružnice. Poznačíme si u nich očíslováním 1, 2, 3, ... průsečíky s kružnicí. V průsečících (obdobně očíslovaných 1', 2', 3', ...), kde tyto půdorysy tvořících přímek protínají půdorys b1 strany b obdélníka, povedeme vertikálně ordinály na stranu b obdélníka. Tyto nové průsečíky očíslujeme 1*, 2*, 3*, ... Získáme tak systém čísel např.: 1+1'+1*. Postupně propojujeme jednotlivě body 1 a 1*, atd. a tak obdržíme tvořící přímku plochy. Neviditelné úseky čárkujeme.

Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vrácené opravené poštou přes děkanát. Poznámka při opravách "znovu" znamená je přerýsovat.

Aktualizace dne 04.06.2002
Copyright © Ústav MA-DG

Left Up Right