Test č. 2

Deskriptivní geometrie, I. ročník kombinovaného studia FAST,
zimní semestr 2000/2001

Mongeovo promítání na dvě k sobě kolmé průmětny

Rýsujte tužkou na formát A4, kladívkový papír není nutný, Vždy vypište text příkladu a své jméno v horní části, druh studia v dolní části. Připojte též svou e-mailovou adresu, poštovní schránku si lze opatřit bezplatně na řadě českých serverů. Konstrukci doplňte stručným slovním popisem postupu (je Vás hodně, dbejte proto, aby se učitel nemusel zdržovat při prohlížení nejasných textů a nejasných konstrukcí).

Vyřešte následující základní úlohy. Budou od Vás znovu požadovány jako součást zkoušky (pod dohledem učitele) a jejich úspěšné absolvování je součástí zápočtu. Termín odevzdání je přibližně do 1 měsíce.

Abychom Vám ulehčili Vaše posouzení, zda pracujete správně (tzv. zpětná vazba učitele ke studentovi), uvádíme u celé řady příkladů i výsledná řešení (vždy podle situace) např. poskytnutím důležitého parametru z výsledku (často přímým sdělením souřadnic výsledku - s jistým rozptylem v přesnosti). Výsledky jsou uváděné v hranatých závorkách! Toto je třeba chápat jako pedagogickou vstřícnost, aby studenti (od školy a od sebe vzájemně vzdáleni), měli možnost aspoň trochu si ověřit, zda pracují správně a zda látku správně pochopili. Pro ověření znalostí studenta učitelem je však rozhodující výkon studenta u zkoušky.

Základní polohové úlohy:

1.příklad
  1. Určete stopy roviny r, určené dvěma různoběžkami aºAC, bºAB, A(0, 22,18), B(8, 0, 29), C(18, 10, 0),
    [ρ(26, 36, 47)].
  2. Bodem M veďte rovinu a, rovnoběžnou s danou rovinou! M(0, 33, 18), r(-50, 22, 38),
    [a(-100, 43, .....)].
  3. Určete průsečík Q přímky q s rovinou r! q=QP, Q(-60, 20, 28), P(0, 5, 0), ρ(-24, -56, 19),
    [ yQ = 10, ...].
  4. Je dána rovina r, přímka m s rovinou r různoběžná a bod R, který neleží ani v rovině r, ani na přímce m. Sestrojte takovou přímku b, aby procházela bodem R, dále aby byla ještě rovnoběžná s danou rovinou r a ještě aby také proťala danou přímku m! R(10, 14, 27), r(-44, 16, 28),
    [ b = RE, souřadnice některého budu E přímky b jsou např. E(-35, 4, 2)].
  5. Určete stopy roviny r, je-li tato rovina dána bodem A a přímkou b! A(20, 16, 27), b = PB, P(12, 9, 0), B(50, -8, 30),
    [ρ(23, 19, -38)].
  6. Určete průsečík Q přímky m s rovinou a! m = MR, M( -3, 0, 25), R(-60, 22, 11), a(-26, 14, -50),
    [Q(-19, 10, 18)].
  7. Určete průsečík Q přímky m = KR, K(-50, 14, 35), R(0, 27, 8), s rovinou dvou rovnoběžek a//b, a = PA, P(-50, 39, 0), A(0, 14, 62), b ÎB, B(-20, 12, 0),
    [ Q(-20, 21, 19)].
2. příklad
Sestrojte (i s vyznačením viditelnosti) zásek dvou trojúhelníků DABC a DMKL! A(-38, 12, 47), B(9, 52, 13), C(31, 18, 34), M(0, 53, 61), K(-27, 25, 21), L(35, 6, 0)
[ průsečnice g může být popsána např. těmito vybranými, jejími libovolnými body E(-38, 34, 31), F(30, 28, 28)].

Ze základních metrických úloh:

3. příklad
  1. Určete vzdálenost d bodu M od dané roviny a! M(-50, 50, 40), a(-60, 35, 55),
    [ d = 53].
  2. V dané rovině r leží body A, B. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jestliže i jeho třetí vrchol C bude ležet v dané rovině! r(50, 60, 30), A(10, ?, 15).
    Poznámka: bod, ležící v rovině nesmí být zadáván najednou oběma průměty, chybějící průmět se naopak musí odvodit, aby opravdu takový bod ležel v dané rovině (tj. problém hlavních přímek takové roviny)!
    [B(-10, 60, ?), [C(-32, 28, ?)].
  3. Je dána úsečka s koncovými body A(-27, 42, 24), B(0,  17, 13) a mimoběžná přímka m = PN, P(41, 100, 0), N(-23, 0, 58). Sestrojte rovnoramenný trojúhelník DABC, aby jeho třetí vrchol ležel právě na přímce m!
    [C(4, 44, ?)].

Složitější úlohy, vedoucí ke konstrukcím obrazců, těles či řezů:

4. příklad
Sestrojte řez roviny r s kosým kruhovým válcem. Kosý kruhový válec má podstavu v půdorysně o středu S(-46, 33, 0), horní podstava (v rovině rovnoběžné s půdorysnou) má střed 1S (47, 77, 80), r=21. Rovina r (23, -8, 5).
[střed elipsy řezu S´(0, ?, ?), hlavní poloosa elipsy pro 1. průmět a=36, pro 2. průmět a=26].

Pokyny: Užijte osové afinity. Najděte S´= S1S Ç r a poté dvojici vzájemně kolmých průměrů v kruhové podstavě. Vyznačte některou afinní dvojici sdružených průměrů. Vyhledejte obrysové body U, V vzhledem ke 2. průmětu a obrysové body K, R vzhledem k 1. průmětu. (Časový odhad půl hodiny při znalosti věci).

5. příklad
Zobrazte rotační kužel, jsou-li dány body A, B, C kružnice podstavy a je-li výška kužele v = 80. A( -10, 75, 0), B(33, 40, 20), C(0, 95, 63),
[V(-63, ?, ?], poloměr podstavy r=40].

Pokyny: Sestrojte rovinu aºABC (pomocí stopníků). Všechny 3 body otočte do půdorysny okolo půdorysné stopy roviny a (užívejte přitom afinity). Trojúhelníku, jehož vrcholy jsou otočené body A, B, C opište kružnici. Tuto kružnici zpětně (afinitou) odvoďte do 1. průmětu (dostanete elipsu). Hlavní osa elipsy v 2. průmětu je stejně dlouhá a rovnoběžná s nárysnou stopou roviny a. Vedlejší osu odvoďte proužkovou konstrukcí.

6. příklad
Sestrojte průsečíky přímky b s kosým kruhovým válcem: b=RQ, R(-84, 66, 0), Q (-40, 38, 60). Střed O(0, 60, 0), r=35 kruhové základny v půdorysně. Směr povrchových přímek o=OL, L(-50, 33, 52).

Pokyny: Přímkou b proložíte rovinu //j s površkami válce [po volbě libovolného bodu HÎb zavedete HÎo˘//o (bodem H rovnoběžku o˘ s přímkou o)]. Vyhledáte půdorysnou stopu této roviny j= b.o˘. Rovina j protne válec ve dvou rovnoběžných površkách e, f. Jejich půdorysné stopníky jsou průsečíky kruhové základny s půdorysnou stopou roviny j. Průsečíky těchto površek e, f s přímkou b jsou hledané průsečíky X, Y přímky b s válcem. Vyznačte viditelnost přímky b a průsečíků X a Y. (Časový odhad půl hodiny při znalosti věci).

7. příklad
Průsečíky přímky b s kulovou plochou: b=PQ, P(-20,18,0), Q(30,50,75), střed kulové plochy S(0,60,50), poloměr r=40.

Pokyny: přímkou b1 proložte rovinu l, kolmou k půdorysně (druhá alternativa je: kolmou k nárysně - konejte jen jednu alternativu). Rovina l řeže kouli v kružnici m.Vyznačte průměr kružnice m1 (je to úsečka). Najděte střed M1 na m1. Sklopte přímku b1 do (b) a kružnici m1 do (m) [nejdříve však (M)]. Vyhledejte průsečíky (X) a (Y) kružnice (m) a přímky (b). Promítacími přímkami odvoďte X1 a Y1, později X2 a Y2.
Vyzkoumejte viditelnost průsečíků X a Y vzhledem k oběma průmětnám. Vzhledem k 1. průmětu viditelnost rozhodne rovník kulové plochy a poloha bodů X a Y vzhledem k rovníku (posoudíme v druhém průmětu nebo ve sklopeném obraze). Poloha hlavní kružnice na kulové ploše, ležící v rovině rovnoběžné s nárysnou rozhodne o viditelnosti průsečíků X a Y vzhledem ke 2. průmětu. Je-li průsečík X nebo Y k pozorovateli blíže než je střed kulové plochy, je viditelný. (Časový odhad 1 hod. při znalosti věci).

8. příklad
Řez kulové plochy rovinou r. Kulová plocha má střed S(0,52,50), r=43. Rovina j(62,57,70).

Pokyny: Zavedeme třetí průmětnu m buď kolmou k p nebo k n středem kulové plochy či poněkud odsunutou. Tedy např. kolmou k p: potom poloha třetí průmětny (promítá se do přímky m1) je kolmá k půdorysné stopě p1r. Sestrojíme třetí průmět r3 roviny řezu (bude jím přímka) a třetí průmět kulové plochy (tady začneme od středu S3). Třetí průmět středu M3 kružnice řezu je patou kolmice k3 , vedenou kolmo na rovinu řezu r3. Protože kružnice řezu se promítá (v 3. průmětu) do úsečky, ihned zjistíme průměr této kružnice. Odvodíme do 1. průmětu M1. Dále použijeme znalostí o průmětu kružnice v nakloněné rovině r (je-li dána středem M a velikostí poloměru). Viditelnost vůči 1. průmětu pomůže rozhodnout hlavní přímka I hr první osnovy roviny řezu r. Obdobně viditelnost vůči nárysně hlavním přímka II h r druhé osnovy (časový odhad 2-3 hodiny při znalosti věci).

9. příklad
Sestrojení krychle z daných podmínek. Stěna krychle leží v rovině a(-60,70,50) a je dána vrcholem B(70,30,?). Dále je řečeno, že hrana krychle má ležet na přímce b, procházející bodem M. Přitom odchylka přímky b od půdorysny je j= 30o. Délka hrany krychle d=40.

Pokyny: odvodíme B2 (hlavní přímkou). Sestrojíme rotační kužel o vrcholu B, podstavě v půdorysně a odchylce povrchových přímek j=30o od půdorysny. Kruhovou základnu kužele protneme s půdorysnou stopou roviny  ve stopníku Pb přímky b. Spojením stopníku s bodem B získáme přímku b. (Ta nyní splňuje už podmínku, že - díky kuželu - svírá odchylku j s půdorysnou a přitom leží v rovině a, takže může nést hranu krychle). Nyní otočíme do půdorysny nejdříve bod B a potom i přímku b. V otočení sestrojíme čtverec o straně d=40, jehož jeden vrchol je otočený bod (B) a strana leží na otočené přímce (p). Osovou afinitou (p1a je osou afinity, B1 a otočený bod (B) je dvojicí afinních bodů) odvodíme první průmět čtverce. Jeho nárys hlavními přímkami. Vybereme vhodné místo a sestrojíme spádovou přímku první osnovy (kolmou na půdorysnou stopu p1a), sklopenou do půdorysny. Kolmo na ni odvodíme sklopenou kolmici (k). Na kolmici někde vyznačíme úsek d=40 a odvodíme délku prvního průmětu (třetího rozměru krychle). Tuto délku rozneseme kružítkem na všechny hrany (které jsou spolu rovnoběžné a současně kolmé k rovině a). Samostatně sklopíme spádovou přímku druhé osnovy do nárysny a i na ni odvodíme sklopenou kolmici (k). Zase vyznačíme délku třetího rozměru hrany pro nárys. (Časový odhad 4 hodiny při znalosti věci).

Odevzdávejte poštou a najednou všechny příklady. Budou Vám vrácené opravené poštou přes děkanát. Poznámka při opravách "znovu" znamená je přerýsovat. Látka příkladů 1 až 3 je vybrána jako ukázka. Bez znalosti takových základních úloh nemůžete obdržet ani zápočet. K zápočtu je třeba mít odevzdané opravené příklady a předvést (pod dohledem učitele) znalost "základních úloh" z každé projekce.

Využijte také tutoriálu (konzultace) 24. a 25. listopadu 2000 k dotazům nebo elektronickou korespondenci.

Tento test č. 3 odevzdejte do 1 měsíce.

RNDr.Pavel Talanda,v.r.

Aktualizace dne 04.06.2002
Copyright © Ústav MA-DG

Left Up Right