Nelineární programování
 
Marie Tomšová 
Ústav matematiky, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, 
Vysoké učení technické v Brně  
e-mail: tomsova@feec.vutbr.cz 

V navazujícím magisterském studiu na Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně se nebudou učit jen statistické metody, ale i elementy operační analýzy. Příspěvek je věnován jedné její části – nelineárnímu programování.
Jak plyne z názvu, jde o případ, kdy jsou omezení nebo účelová funkce (nebo obojí) nelineární.
Praktický problém, vedoucí na nelineární programování:
Výnos zemědělské plodiny je závislý v prvé řadě na množství srážek (včetně závlah) a na množství dodaných živin. Závislosti nejsou lineární. Na příklad s rostoucím množstvím srážek výnos nejdříve roste, pak však klesá (na příklad obilí polehne, sníží se kvalita zrna díky plísním apod.). Podobně při přehnojení umělými hnojivy přestává úměrně růst výnos.

Pokud jde o vlastní účelovou funkci, není samozřejmě k dispozici žádný exaktní vzorec. Je třeba vycházet jednak z odborných studií, jednak z dat zjištěných mnohaletým pozorováním pro danou oblast, z bonity a vododržnosti půdy atd. Je přitom třeba se omezit na nejvýše kvadratické závislosti, neboť jen pro tento případ je k dispozici rozumná početní metoda. V našem případě bude kvadratický vztah jistě stačit a může se k němu dospět na příklad aproximací reálných dat parabolou pomocí metody nejmenších čtverců. 

Předpokládáme znalost  základních matematických pojmů, jako je extrém, stacionární bod, konvexní a konkávní množiny a funkce, inflexní bod, gradient a podobně.

1.	Obecná úloha NLP (nelineárního programování):

Nalézt globální extrém účelové funkce  v oblasti, určené soustavou omezení  .
Některé třídy úloh se označují speciálními názvy:
•	kvadratické programování: kvadratická účelová funkce, lineární omezení
•	konvexní programování: účelová funkce i omezení jsou konvexní funkce
•	separabilní programování: bez smíšených členů ( na př. pro f:   )
•	lomené programování: účelová funkce a omezení jsou podíly lineárních funkcí.

2.	Hledání vázaného extrému (=řešení úlohy NLP) pro konvexní problém:

Úloha: minimalizujte      
za podmínek             0  ( i=1,2,..m )
			      	
kde účelová funkce f i veškerá omezení jsou konvexní, spojitě diferencovatelné funkce.
Věta: (Kuhn-Tuckerova)
Vektor je řešením úlohy konvexního programování když a jen když existuje vektor  takový, že je splněno následujících šest (Kuhn-Tuckerových) podmínek:
(KT1)         pro všechna j

(KT2)       

(KT3)       		(standardní podmínka nezápornosti řešení)

(KT4)            (omezení)

(KT5)       

(KT6)       

Literatura 

[1]	CHURCHMAN C. W. , ACKOFF R.L., ARNOFF E.L. Úvod do operačného 
            výskumu. ALFA,  Bratislava 1968.
 [2] 	LAŠČIAK A. a kol. Dynamické modely. ALFA, Bratislava 1985.
 [3] 	NOVÁK M. Probability theory in combined form of studz at FEEC BUT, 
            Mezinárodní  konference EPI Kunovice 2006.
 [4]      TYC O. Operační analýza. MZLU Brno 2002.
 [5]      ZAPLETAL J. Operační analýza. SKRIPTORIUM VOŠ. Kunovice 1995.  
 [6]      DUDORKIN N., Operační analýzy, FEL  ČVUT, Praha, 1997.