VYBRANÉ  MATEMATICKÉ OBJAVY A ICH APLIKÁCIE VO VYUČOVANÍ

Tomáš  Lengyelfalusy

Resumé: V tomto príspevku sa poukazuje na dôležitosť historického pohľadu na vývoj matematických  pojmov a na ich používanie. Zameriavame sa hlavne na riešenie kubickej rovnice a následne na nutnosť zavedenia komplexných čísel. V príspevku sú aj pôvodné historické príklady a ich originálne dobové riešenia, ktoré umožňujú sledovať vývoj matematického myslenia.

ÚVOD

Matematika nepopierateľne patrí medzi najvýznamnejšie pomocné vedné disciplíny všetkých oblastí techniky. Mnohé objavy matematiky nielen napomáhali vývoju technických vied, ale mnohokrát zmenili aj ich smerovanie a charakter. V ďalších riadkoch by sme chceli hovoriť o dvoch takých objavov – výsledkov, ktoré dnes používame pri každodenných výpočtoch a málokedy si uvedomujeme aká tŕnistá cesta viedla k ich objaveniu a rozširovaniu. Bude reč o riešení kubickej rovnice a o nutnosti zavádzania komplexných čísel.

CARDANO A JEHO VÝSLEDKY

Úplné a správne všeobecné riešenie kubickej rovnice publikoval GIROLAMO CARDANO (1501 – 1576) v roku 1545 vo svojej známej knihe Ars magna sive de regulis algebraicis. Cardano vedel, že pred ním nezávisle na sebe sa dopracovali k podobným výsledkom aj TARTAGLIA (Niccolo Fontana) (1500 – 1557) a Scipione del FERRO (1465 – 1526), preto vo svojej knihe ich s úctou spomína. Cardanov vzorec sa stal známym práve vďaka spomínanej publikácii, ale správne by sa mal nazývať Tartaglia – Cardanov vzorec. Tento vzorec sa zrodil na základe riešenia rovnice . Cardanovým prínosom do riešenia tohto problému bolo práve to, že ako prvý dokázal, že každá kubická rovnica tvaru  sa dá upraviť na taký tvar, ktorý už neobsahuje kvadratický člen.

Príklad 1.
Upravme pomocou novej premennej rovnicu  tak, aby neobsahovala kvadratický člen! Nech  , kde   je nová premenná a hodnotu   zvolíme tak, aby rovnica neobsahovala člen . Po dosadení dostaneme: . Po vykonaní operácií upravíme rovnicu  podľa  klesajúcich  mocnín :  	
. Aby koeficient kvadratického člena bol nulový, zvolíme . Vtedy dostaneme rovnicu , ktorá má tvar: .

Príklad 2.
Riešme kubickú rovnicu , kde  sú kladné racionálne čísla!
Cardano svoje riešenia demonštroval na rovnici . Najprv sa budeme zaoberať riešením tejto rovnice. Cardano použil substitúciu  za podmienky . Táto posledná podmienka nám zaručí, že po dosadení do rovnice   z nej dostaneme   a samozrejme platí aj  .
Z druhého vzťahu dostaneme . Dosadením do prvej rovnice dostaneme  . 
Riešením tejto kvadratickej rovnice dostaneme  a teda  . Keďže podľa   sú  a  zameniteľné, stačí, ak berieme do úvahy iba hodnoty   a   .
 Preto
A skutočne platí, že   je koreňom pôvodnej rovnice  . Táto metóda je ale pomerne  ťažkopádna, lebo je veľmi ťažké na základe tých „odmocninových“ výrazov usúdiť, že výsledok je presne 2. V dobe vreckových kalkulačiek to nie je až takým problémom, ale v dobe Cardana matematikom robilo dosť problémov vyčísliť neprehľadné iracionálne výrazy. Väčším problémom tejto metódy je, že pomocou nej dostaneme iba jeden koreň, hoci by sme čakali tri. Bohužiaľ, ďalšie dva korene nemôžeme zistiť dovtedy, kým sa neoboznámime s komplexnými číslami. A Cardano ešte nemohol počítať s komplexnými koreňmi.
Na ďalší problém poukazuje riešenie príkladu 4, ale predtým vyriešme nasledujúci príklad:

Príklad 3.	
Riešme pôvodnú kubickú rovnicu  !
Nech      a     
Potom  , čiže    a súčasne  .  Z toho  .

Dosadením do prvej rovnice dostaneme  .
Z toho     a    .
Berúc do úvahy zameniteľnosť   a    dostaneme:
.

Príklad 4.
Tartaglia – Cardanov vzorec (z predchádzajúceho príkladu) spôsobil nemalé problémy pre dobových matematikov aj pri riešení nasledujúcej rovnice:  .
Ľahko zistíme, že jedným koreňom rovnice je  . Na základe rozkladu na koreňové činitele ľahko zistíme, že ďalšími koreňmi sú    a   . O správnosti riešenia sa môžeme presvedčiť dosadením do pôvodnej rovnice. Ak použijeme vzorec z predchádzajúceho príkladu, dostaneme vzťah:
, ktorý ďalej nedokážeme upravovať, dokonca vďaka výrazu   ani definovať na množine reálnych čísel. Ako teda môže vzniknúť z toho hociktorý zo spomínaných troch koreňov? Je to známy problém casus irreducibilis, ktorý v dobe Cardana nemohli riešiť, lebo nepoznali komplexné čísla. Len pomocou Targalia – Cardanovho vzorca nemožno riešiť také kubické rovnice, ktoré majú tri reálne korene.

BOMBELLIHO NÁPAD

RAFAEL BOMBELLI (1526 – 1572) bol prvý, ktorý dostal smelý nápad, že súčtom takých dvoch  ,,čudných“ čísel, aké sme dostali v príklade 5 môže byť 4. Čiže  , lebo rovnica, z ktorej sme získali tie dva korene má jeden koreň rovný 4. Ak je to pravda, môže platiť iba vtedy, ak nereálne (imaginárne) časti daných koreňov sa líšia iba v znamienku a súčet reálnych častí je 4. Predpokladal teda, že .

Je to číslo tvaru  , kde  . Z toho úvahou dostal, že  . Ak to platí, tak naozaj:  .
Táto smelá úvaha Bombelliho bola prvým krokom do sveta komplexných čísel. On bol prvým, ktorý  ,,opustil“ ríšu reálnych čísel.

ZÁVER

Mnohé matematické objavy sa stali súčasťou nášho každodenného života a je niekedy užitočné sa zamyslieť aj nad tým, ako uvažovali naši predkovia – matematici dávnych čias, čo ich priviedlo, resp. prinútilo k tomu, aby hľadali stále nové, ešte neobjavené súvislosti.

LITERATÚRA

 	Bečvář, J., Fuchs, E.: Matematika v 16. a 17. století. PROMETHEUS, Praha 1999 ISBN 80-7196-150-7;
 	Lengyelfalusy, T.: Výchovný aspekt vyučovania matematiky a jeho vplyv na osobnosť absolventa strednej školy. In: XI. Celoslovenský seminár – O aktuálnych otázkach vyučovania matematiky v ZŠ a SŠ. Zborník príspevkov. JSMF Žilina 2003. str. 29-31. ISBN 80-8070-063-X.
 	Sain, M.: Nincs királyi  út. Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986, ISBN 86-2399-66-14-1.
 	Sandanusová, A., Stollár, T.: Prečo vyučovať názorne. In: XXI. Medzinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu. Sborník abstrakt a elektronických verzí přispěvků na CD-ROMu. VVŠ PV Vyškov, 2003. ISBN 80-7231-105-0.

Kontaktná adresa:
Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc.
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta prírodných vied Žilinskej univerzity
Hurbanova 15
010 26  Žilina
E-mail: lengyelfalusy@fpv.utc.sk
Tel.: 041/5136303