NIEKOĽKO HISTORICKÝCH POZNÁMOK KU GEOMETRICKÝM KONŠTRUKCIÁM

Lýdia Kontrová, Tomáš Lengyelfalusy

Resumé
V príspevku sa pokúsime podať súhrnnú, aj keď veľmi krátku správu o vývoji a využívaní geometrických konštrukcií od najstarších čias až po súčasnosť a v neposlednom rade poukazujeme aj na ich využitie nielen v matematike, respektíve vo vyučovaní matematiky, ale celkovo, v každodennom živote, s dôrazom na ich aplikáciu v technických vedách, hlavne v technickom kreslení.

ÚVOD

Vieme veľmi dobre, že nielen v matematike, ale aj v technických disciplínach zohrávajú veľmi dôležitú úlohu zobrazovacie metódy. Nestačí si niečo vymyslieť, alebo si vedieť predstaviť, ale treba vedieť to nakresliť takým spôsobom, aby na základe tej konštrukcie každý človek videl to isté. Neexistujú totiž „dvojzmyselné“ konštrukcie. Písať vo všeobecnosti o geometrických konštrukciách a o ich aplikáciách v technických vedných disciplínach by vysoko presahovalo rozsah a možnosti tohto zborníka, preto v ďalších riadkoch sa zameriavame hlavne na vývoj geometrických konštrukcií od najstarších čias až po súčasnosť a pokúsime sa o vytvorenie uceleného obrazu na ich použitie nielen v matematike.

STRUČNÝ VÝVOJ  GEOMETRICKÝCH KONŠTRUKCIÍ

Dôležitou úlohou geometrie je (medzi inými) konštrukcia geometrických útvarov z daných prvkov, pomocou daných pomôcok a danej vlastnosti. Jednoduché konštrukcie sa používali v praxi už pred vytvorením vedeckého poňatia geometrie ako vednej disciplíny. Euklides (365 – 300 pr. Kr.) prenášal uhly pomocou vety sss, kým Apolónius (260 – 190 pr. Kr.) odporúča použiť na ich prenášanie rovnoramenný trojuholník.
Zostrojovanie kolmíc sa robilo rozličnými spôsobmi. Túto úlohu riešil aj Euklides vo svojich Základoch. Arabský matematik Abul-Vafa (940 – 997) zostrojoval kolmicu na danú priamku v jej danom bode pomocou obvodového uhla nad priemerom kružnice.
Zostrojovanie rovnobežiek sa vo väčšine opiera o vlastnosti strán rovnobežníka, no v 16. storočí sa používala aj veta, že uhlopriečky v rovnobežníku sa navzájom rozpoľujú.
Pri riešení konštrukčných úloh bol v Platónovej Akadémii zavedený osobitný formálny postup, ktorý sa v podstate používa až dodnes. Po formulácii úlohy sa robil rozbor  a po ňom nasledovala vlastná konštrukcia a naostatok sa dokazovala jej správnosť. Použitie postupu riešenia konštrukčných úloh, zavedeného Platónom (427 – 347 pr. Kr.), si skoro vynútilo, aby sa pri riešení každej konštrukčnej úlohy skúmali podmienky, za ktorých je úloha riešiteľná, a ďalej, aby bol rozvinutý pojem „geometrického miesta bodov“, to znamená množiny bodov určitej vlastnosti, ktorý má veľký význam pri niektorých metódach riešenia konštrukčných úloh. Platón a jeho škola vyslovili požiadavku, aby sa pri konštrukciách používalo iba pravítko a kružidlo. Táto požiadavka v podstate znamená to, aby sa pri riešení konštrukčných úloh používali iba tieto dve základné geometrické konštrukcie:
1.	dvoma rôznymi bodmi viesť priamku,
2.	z daného bodu opísať s daným polomerom kružnicu.
Pritom počet použitých základných konštrukcií pri riešení jednej úlohy mal byť konečný. Platónovu požiadavku prevzal jeho žiak Euklides do svojich Základov a preto konštrukcie, ktoré spĺňajú predošlé podmienky sa nazývajú euklidovskými konštrukciami.
Platónovu požiadavku, robiť konštrukcie iba pomocou pravítka a kružidla, neuznávali však všeobecne ani sami Gréci, totiž týmto spôsobom nebolo možné riešiť napríklad tri známe úlohy vtedajšej gréckej geometrie:
1.	zdvojenie kocky, to znamená zostrojenie hrany kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku objemu danej kocky,
2.	trisekcia uhla, t. j. rozdelenie ľubovolného dutého uhla na tri zhodné uhly,
3.	kvadratúra kruhu, čiže zostrojenie strany štvorca, ktorého obsah sa rovná obsahu daného kruhu.
Sám Platón podal riešenie úlohy o zdvojení kocky, pri ktorom použil iné prostriedky ako pravítko a kružidlo.
Veľmi skoro bola pre riešenie niektorých konštrukčných úloh vytvorená metóda, pri ktorej sa pohybuje úsečka tak, že jej krajné body sa nachádzajú stále na dvoch krivkách. Touto metódou bola riešená aj trisekcia uhla.
Neskoršie boli vynájdené aj iné konštrukčné nástroje, ako napríklad kružidlo s troma alebo štyrmi ramenami, pomocou ktorého sa mohol naraz preniesť celý trojuholník alebo štvoruholník a pod. Teoretické prepracovanie použitia týchto nástrojov sa urobilo čiastočne až v novodobej geometrii. Osobitne potom kinematická geometria, t. j. náuka, ktorá sa zaoberá vytváraním geometrických útvarov pomocou pohybu, rozšírila pojem konštrukčného nástroja na rôzne, často veľmi komplikované mechanizmy. 
Platónova požiadavka pri riešení konštrukčných úloh bola podnetom pre ďalšie podobné úvahy tohto druhu. Tak Lazare Carnot (1753 – 1823) a Charles Brianchon (1783 – 1864) na začiatku 19. storočia študovali konštrukcie, ktoré možno vykonať iba pravítkom. Najmä Brianchon kládol dôraz na to, aby sa tieto konštrukcie mohli používať v zememeračskej praxi a inde. Tak napríklad zostrojuje bodom A rovnobežku k priamke, ktorá je daná bodmi B, D, keď pozná stred úsečky BD. Konštrukcia sa robí na základe vety, že v každom lichobežníku ABDE priamka FG, kde F je priesečníkom uhlopriečok, G priesečníkom predĺžených ramien lichobežníka, rozpoľuje základňu BD.
Taliansky matematik Lorenzo Mascheroni (1750 – 1800) v knihe „Geometria del Compasso“ uvádza konštrukcie, pri ktorých sa používa iba kružidlo a dokazuje, že týmto spôsobom možno riešiť všetky úlohy, ktoré možno riešiť euklidovsky. Môžeme teda prostým použitím kružidla (bez pravítka) zostrojiť ďalšie body priamky, ktorá je daná dvoma bodmi, zostrojiť stred úsečky, ktorá je daná dvoma bodmi, zostrojiť pätu kolmice vedenej bodom, ktorý leží mimo priamky danej dvoma bodmi, zostrojiť priesečník dvoch priamok, z ktorých každá je daná dvoma bodmi a pod. bez rysovania hoci len jedinej úsečky alebo priamky na obrázku.
Iní matematici, ako napríklad  Johann Lambert (1728 – 1777),  Jean Poncelet (1788 – 1867), Jacob Steiner (1796 – 1863), skúmali konštrukčné riešenie geometrických úloh pri podmienkach, že okrem pravítka sa mohol použiť jediný pevný kruh narysovaný v rovine. Najmä nemecký matematik Jacob Steiner preskúmal túto otázku systematicky a dokázal, že týmto spôsobom možno teoreticky vykonať všetky euklidovské konštrukcie. Uvažovalo sa aj o konštrukciách, pri ktorých okrem rysovania priamok a úsečiek podľa pravítka bolo dovolené rysovať iba kružnice s tým istým polomerom. S týmito druhmi konštrukcií sa zaoberal už spomínaný sýrsky matematik Abul-Vafa a neskôr potom Albrecht Dürer (1471 – 1526), Leonardo da Vinci (1452 – 1519) a iní.
Ak pri geometrických konštrukciách pripustíme popri pravítku (bez kružidla) ešte pohyblivý pravý uhol, ako konštrukčný nástroj, budeme vedieť zostrojiť nielen všetky euklidovské úlohy, ako už poznal francúzsky matematik René Descartes (1596 – 1650), ale aj obťažnejšie úlohy, ktoré nemožno zostrojiť kružidlom a pravítkom.
Pri všetkých konštrukciách sa predpokladalo, že sú splnené niektoré okolnosti, ktoré v praxi vždy nenastanú. Napríklad teoretické riešenie konštrukčných úloh predpokladá neobmedzenú rovinu, ľubovoľne dlhé pravítko a možnosť kružidlom narysovať kružnice s ľubovoľne veľkým alebo malým polomerom. Prakticky však nikdy nie je nijaká z týchto požiadaviek splnená a záleží na povahe a rozmeroch daných geometrických útvarov, či možno konštrukciu skutočne vykonať v danej nákresni a či snáď niektoré prvky (priesečníky priamok, dané body a pod.) nepadnú mimo nákresne.
Takto vznikla celá skupina geometrických úloh, ktoré vieme veľmi ľahko teoreticky rozriešiť, ale ktoré pri rôznych nepriaznivých okolnostiach sa stávajú nielen obťažnými, ale aj zaujímavými problémami. Aj týmto úlohám venovali mnoho geometri svoju pozornosť. Nemecký matematik Daniel Schwenter (1585 – 1636) zhromaždil celý rad podobných úloh v knihe „Geometria practica nova“. Rieši tu napríklad úlohy:
1.	Krátkym pravítkom spojiť úsečkou dva body, ktorých vzdialenosť je väčšia než dĺžka pravítka.
2.	Rozpoliť úsečku AB, ktorá je narysovaná tesne pri kraji nákresne tak, že môžno rysovať iba v jednej z polrovín oddelených priamkou AB.
3.	Zostrojiť kolmicu na „krátku“ úsečku.
4.	Zostrojiť rovnobežku bodom k „veľmi blízkej“ priamke.
5.	Určiť presne priesečník dvoch priamok, ktoré sa pretínajú pod „veľmi malým“ uhlom.
6.	Zostrojiť kružnicu troma veľmi blízkymi bodmi, alebo troma bodmi, ktoré ležia takmer na jednej priamke a pod.
Geometrické konštrukcie, ktoré sa robia pri osobitných podmienkach, stali sa od tohto času predmetom stáleho záujmu geometrov, pretože majú veľký praktický význam.

ZÁVER

Geometria, a obzvlášť geometrické konštrukcie vždy zohrávali veľmi veľký význam tak v matematike, ako aj v technických vedách. Na jednej strane je to určitá forma znázornenia teoretických poznatkov, ale na druhej strane je to veľmi dôležitý aparát na formovanie predstavivosti a hľadania súvislostí medzi jednotlivými „komponentmi“ a na dotváranie tejto, tak krásnej a dôležitej oblasti matematiky. Ešte dlho by sme dokázali menovať matematikov, ktorí sa zaoberali geometriou, respektíve priniesli nejaké nové výsledky v tejto oblasti, ale v tomto krátkom príspevku sme chceli len poukázať na určitý historický vývoj  v oblasti geometrických konštrukcií. Bohužiaľ, v bežnej školskej matematike a študenti nedozvedia o takých zaujímavostiach a takto strácajú kontakt s matematikou, ktorej cieľom je (medzi inými) učiť myslieť v súvislostiach. Bolo by užitočné sa zamyslieť nad vývojom jednotlivých matematických disciplín, zapracovať ich do učiva matematiky základných a stredných škôl a v neposlednom rade poukázať na ich využitie v každodennom živote.

LITERATÚRA

[1] HORA, J.: Počítačové důkazy matematických vět – historie a současnost. In: 2. žilinská didaktická konferencia. Zborník príspevkov. FPV ŽU, Žilina 2005. ISBN 80-8070-430-9
[2] KONTROVÁ, L.: Tabuľa a krieda, alebo počítač a dataprojektor? In: Sborník abstrakt a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. XXIII. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu. UO Brno, 2005. ISBN 80-85960-92-3
[3] MARENČÍK, A., SANDANUSOVÁ, A., ZIMA, M.: Možnosti názorného vzdelávania v prírodovednom vzdelávaní. In: Sborník abstrakt a elektronických verzí příspěvků na CD-ROMu. XXII. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu. VVŠ PV Vyškov, 2004. ISBN 80-7231-116-6
[4] POTŮČEK, J.: Historie matematiky pro učitele. II. díl. Pedagogické centrum, Plzeň 2003. ISBN 80-7020-128-2
[5] FULIER, J., ŠEDIVÝ, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. FPV UKF Nitra, 2001. ISBN 80-8050-445-8

Kontaktná adresa autorov:

PaedDr. Lýdia Kontrová
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta prírodných vied Žilinskej univerzity
J. M. Hurbana 15
010 26 Žilina
Telefón: 041/513 6210
E-mail: lydia.kontrova@fpv.utc.sk

Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy,  CSc.
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta prírodných vied Žilinskej univerzity
J. M. Hurbana 15
010 26 Žilina
Telefón: 041/513 6303
E-mail: tomas.lengyelfalusy@fpv.utc.sk