Hypergrupy vytvořené hierarchiemi
 
Jiří Moučka 
Univerzita obrany, Fakulta ekonomiky a managementu, Katedra ekonometrie  
e-mail: jiri.moucka@unob.cz 

Hlavním cílem tohoto článku je ukázat, že existuje funktoriální přechod z kategorie hierarchií a jejich lokálních izomorfismů do kategorie polohypergrup, případně hypergrup a jejich (dobrých) homomorfismů. 
Uvedeme si nejprve definice pojmů hierarchie a lokálního izomorfismu.
Nechť  je uspořádaná množina. Řekneme, že S má hierarchickou strukturu, má-li následující tři vlastnosti.
a) S je konečná množina,
b)  je spojový polosvaz,
c) pro libovolné dva prvky  existuje prvek  pouze tehdy, je-li  nebo .
Z důvodu teoretických úvah je vhodné někdy připustit v předchozí definici i nekonečnost množiny, která má hierarchickou strukturu. Tím se uspořádaná množina s hierarchickou strukturou stává v literatuře studovaným (např. [1], [3]) lokálně konečným kořenovým stromem, u kterého se připouští, jak konečnost, tak i nekonečnost jeho nosné množiny. Tyto struktury, kde připouštíme nekonečnost jejich nosné množiny, se nazývají hierarchické struktury nebo stručněji hierarchie. Obecněji horním lokálně konečným kořenovým stromem budeme rozumět uspořádanou množinu  s největším prvkem (kořenem), pro niž každý její hlavní konec, tj. množina  pro všechna , je konečný řetězec.
Z obecného hlediska transformací hierarchické struktury rozumíme zobrazení nosné množiny jedné hierarchické struktury do nosné množiny druhé hierarchické struktury, které je určitou analogií izotonního zobrazení mezi uspořádanými množinami. Jedním z možných typů transformací hierarchické struktury jsou tzv. lokální izomorfismy, které zachovávají hierarchickou úroveň a jejichž definice je:
Nechť  a  jsou hierarchické struktury. Izotonní zobrazení f uspořádané množiny  do  se nazývá lokální izomorfismus  do , jestliže pro každou dvojici prvků  takových, že , restrikce  je pořádkový izomorfismus intervalu  na interval .
Množina všech lokálních izomorfismů  do  tvoří pologrupu s neutrálním prvkem, tedy monoid.
Je-li  horní lokálně konečný kořenový strom,  T  izotonní zobrazení, ( T ) surjekce na , pak řetězec se nazývá t0 – splinter nebo výpočtový řetězec nastartovaný v čase t0. Obecně, každá dvojice prvků x,y stromu T určuje t0 – splintery, které obecně interagují, což lze modelovat operacemi na systému těchto množin. Jestliže ke každé dvojici prvků přiřadíme sjednocení jimi generovaných hlavních konců  , je na množině T definována binární hyperoperace.  Má-li tato binární hyperoperace určité vlastnosti, dostáváme binární hyperstrukturu jako např. polohypergrupu, hypergrupu nebo spojovací (transpoziční) hypergrupu, v jiné terminologii spojovací prostor.
Uveďme nyní některé základní pojmy z teorie hyperstruktur.. Podrobněji je tato problematika rozebrána např. v monografiích [2], [4].
Definice. Nechť H je neprázdná množina. Zobrazení  P′ nazýváme binární hyperoperací (dále je hyperoperaci). 
Dvojici  pak nazýváme hypergrupoid. Množinu  nazýváme hypersoučinem prvků a,b. Splňuje-li hyperoperace  asociativní zákon
 pro každou trojici prvků , 
říkáme dvojici  polohypergrupa. Polohypergrupa , která splňuje zákon reprodukce 
pro každý prvek , se nazývá hypergrupa.
Přitom pro neprázdné množiny  definujeme 
a píšeme .
Zákon reprodukce v definici hypergrupy je ekvivalentní axiomu kvocientu, který říká, že pro každou dvojici prvků existuje dvojice prvků  tak, že  .
Uvedená klasická definice hypergrupy pochází od F. Martyho [5] a je jedním z možných způsobů zavedení pojmu hypergrupy. 
Definice. Hypergrupoid  se nazývá komutativní, jestliže pro každou dvojici prvků platí . 
Hypergrupoid se nazývá extenzivní, jestliže pro každou dvojici prvků  platí .
Hypergrupoid  se nazývá minimální extenzivní, jestliže pro každé platí .	
Z definic je ihned vidět, že minimální extenzivní hypergrupoid je komutativní hypergrupa. Můžeme proto hovořit o minimální   extenzivní hypergrupě.
Nejčastěji uváděným příkladem hypergrupy je množina všech reálných čísel R s operací sčítání a přirozeným uspořádáním, kde hyperoperaci   P′ zavádíme pro každou dvojici  takto:   .
 je komutativní hypergrupa.
Mnoho dalších příkladů hypergrupoidů, polohypergrup, komutativních i nekomutativních hypergrup lze nalézt např. v [2], [4], [6].
Při zkoumání vztahů mezi strukturami nebo při studiu transformací struktur hrají důležitou roli různá zobrazení. V teorii hypergrup to jsou především homomorfismy a dobré homomorfismy.
Definice. Buďte  hypergrupy. Zobrazení  se nazývá homomorfismus hypergrupy 	 do hypergrupy , jestliže pro každou dvojici prvků  platí . Zobrazení  se nazývá dobrý homomorfismus hypergrupy  do hypergrupy , jestliže pro každou dvojici prvků  platí .
		
Po rekapitulaci základních pojmů teorie hierarchií a hyperstruktur se zabýváme vztahy mezi hierarchiemi (lokálně konečnými kořenovými stromy) a hypergrupami případně polohypergrupami. Ukážeme, že na hierarchické struktuře je možno přirozeným způsobem definovat binární komutativní hyperoperaci, která spolu s nosnou množinou daného stromu vytváří komutativní hypergrupu..
Uvažujme hierarchii  a na množině H zaveďme čtyři nejvíce se nabízející hyperoperace značené postupně  následovně:
Pro libovolnou dvojici prvků 
,
,
,
.
Hyperoperace  tedy přiřazuje dvojici prvků x,y hlavní konec množiny H generovaný supremem (spojením) prvků x,y, hyperoperace  pak hlavní začátek množiny H generovaný opět supremem prvků x,y.
Z následující věty, která je dokázána v [4] str. 146 bezprostředně vyplývá, že jak , tak  jsou komutativní polohypergrupy.
Věta. Buď  uspořádaná pologrupa. Binární hyperoperace  P‘ definovaná předpisem  je asociativní. Polohypergrupa  je komutativní právě tehdy, když pologrupa  je komutativní.
Hyperoperace ,  však obecně nesplňuje podmínku 

resp. ,
jak ukazuje následující jednoduchý příklad. 
Pro hierarchii  znázorněnou na obr. 1 platí 

a obdobně .
 tedy obecně nejsou hypergrupy.
	Obraťme nyní pozornost k druhé dvojici výše definovaných hyperoperací . Bezprostředně z věty 4.1 práce [7] vyplývá, že 
 jsou komutativní extenzivní hypergrupy.

 Obr. 1

Takto definovaná přiřazení  fakticky určují funktoriální přechody z kategorie všech hierarchií a jejich lokálních izomorfismů do kategorie hypergrup a jejich dobrých homomorfismů, jak nyní ukážeme.
Buď  hierarchie,  k ní přiřazená komutativní hypergrupa. Položíme . Zvolme libovolnou hierarchii  a libovolný lokální izomorfismus f:  . Označme  hypergrupu vytvořenou hierarchií . Nechť F(f) je zobrazení hypergrupy  do hypergrupy , které je neseno týmž množinovým zobrazením jako lokální homomorfismus f:  .
Z definice lokálního izomorfismu vyplývá vztah  pro každé .
Potom platí 

.
Označme dále symbolem H  kategorii všech hierarchií a jejich lokálních izomorfismů a symbolem AHG kategorii všech komutativních (abelovských) hypergrup a jejich dobrých homomorfismů.
Pro libovolné H – objekty , ,  a libovolné H – morfismy ,   zřejmě platí 

a rovněž vztah  je zřejmý.
Z toho vyplývá, že
F: H  A H G
je kovariantní funktor z kategorie všech hierarchií a jejich lokálních izomorfismů do kategorie všech komutativních hypergrup a jejich dobrých homomorfismů.
Obdobné tvrzení analogicky obdržíme i v druhém případě pro hyperoperaci , kdy přiřazení  určuje rovněž kovariantní funktor z kategorie H do kategorie  A H G .

 

Literatura

[1]	 Blažková, R., Chvalina, J. Regularity and transitivity of local automorphism semigroups of locally finite forests. Arch. Math. Brno 20  (1984), s. 183 - 194.
[2] 	Corsini, P. Prolegomena of Hypergroups Theory. Avianni Editore, Tricesino, 1993.
[3] 	Chvalina, J., Chvalinová, L. Locally finite rooted trees with regular monoids of automorphisms. Brno: Knižnice odb. a věd. spisů VUT, B 119 (1988), s. 71 - 86.
[4]	Chvalina, J. Funkcionální grafy, kvaziuspořádané množiny a komutativní hypergrupy. Brno: MU, 1995.
[5] 	Marty, F. Sur une genéralisation de la notion de groupe. Huitième congr. math. scand., Stockholm 1943, s. 45 - 49.
[6]	Moučka, J. Hypergrupy determinované automaty a uspořádanými množinami. Disertační práce. Vyškov: 1997.
[7]	Moučka, J. Aplikované struktury pro diskrétní modelování procesů. Habilitační práce. Vyškov: 2002.