Výuka matematických disciplín s využitím
 e-learningových nástrojů 
Jiří Hřebíček, 
Masarykova Univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta, Centrum biostatitiky a analýz 
e-mail: hrebicek@cba.muni.cz
Jana Hřebíčková, Jana Slaběňáková
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie 
e-mail: hrebickova.j@fce.vutbr.cz, slabenakova.j@fce.vutbr.cz
Zuzana Chvátalová, Ivan Mezník
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta podnikatelská, Ústav informatiky 
e-mail: chvatalova@fbm.vutbr.cz, meznik@fbm.vutbr.cz

Abstract 

E-Learning in the teaching of mathematical disciplines is supported by information and communication technologies of the Maplesoft™ company (http://www.maplesoft.com), called the “ME - Mathematical E-Learning”. This is an infrastructure that comprehensively addresses the information and communication technology requirements for university institutions (faculties, institutes, departments) wishing to deploy mathematical courseware for Internet. The paper presents an overview of our proposed methodology of e-Learning in the teaching of mathematical disciplines in Masaryk University and University of Technology in Brno using Maple™, MapleNet™, Maplet™ technologies and Maple T.A.™ of the ME. This methodology was developed with the grant of the Czech Ministry of Education “Innovation of teaching with computer algebra systems”. Also some requirements are mentioned for the development and publishing of live course content of mathematics, assessment, etc.

1. Úvod

Pro podporu e-learningu ve výuce matematických disciplín vyvinula kanadská firma Maplesoft výukový systém LMS (angl. Learning Management System), který pro účely tohoto textu pracovně nazveme “Matematický e-learning (ME)”. Systém ME se sestává z informačních a komunikačních technologií (ICT) Maple™, Maplet™, MapleNet™ a Maple T.A.™. Cyklus výuky matematicky orientovaných předmětů s využitím LMS systému ME má pak následující kroky identické pro běžnou výuku:
•	 Příprava přednášek příslušné matematické disciplíny (předmětu) s využitím možností poskytovaných systémem Maple včetně různých druhů prezentace (zápisníky s matematickými texty, grafy, příp. animací). 
•	Příprava interaktivních praktických příkladů pro danou disciplínu (předmět), které zlepšují pochopení probírané látky, k čemuž slouží učitelem vytvořené Maplety a webový systém MapleNet. 
•	S využitím webového systému MapleNet si student danou problematiku probranou v přednášce procvičí na demonstračních příkladech. 
•	S využitím webového systému Maple T.A. je student je automaticky vyzkoušen (s využitím jak vhodných testů, tak i příkladů s návody) a je vyhodnocena jeho znalost probrané látky.
Systém ME obsahuje vhodné ICT pro všechny subjekty zúčastněné na výuce matematických disciplín. Zde jde v první řadě o studenty a učitele (instruktory, tutory), dále také pro administrátory a garanty výuky. Studentům systém ME poskytuje prostředí pro pochopení látky, prozkoumání problematiky a procvičování. Učitelům je dán nástroj pro vytváření výukových materiálů, tvorbu testů a následné zpracování výsledků včetně možnosti analýzy nedostatků ve výukovém procesu. Administrátoři získávají nástroj, který je jednoduše konfigurovatelný a nastavitelný, zatímco garanti výuky systém umožňující dobrý přehled o výuce.

2. Systém ME – přehled použitých ICT

V této kapitole jsou stručně popsány jednotlivé komponenty ME, tj. ICT Maple™, Maplet™, MapleNet™ a Maple T.A.™.
Maple™ je systém počítačové algebry pro výuku a využití matematiky, který byl vyvíjen od devadesátých let minulého století. Jde o systém primárně určený pro řešení symbolických a numerických matematických výpočtů, počítačovou vizualizaci a dokumentaci. Umožňuje uživatelům vstoupit do počítačového prostředí, ve kterém lze snadno používat nástroje pro řešení a prezentaci matematických modelů. Prostředím pro výuku jsou v Maple zápisníky (angl. worksheet), které obsahují mnoho prostředků pro ulehčení tvorby výukových textů. Pro veškeré objekty vytvářené v rámci zápisníků (výrazy, grafy, matice …) je možné použít intuitivních asistentů. Pro zjednodušení práce s dokumenty Maple je možno využít slovník matematických a technických výrazů.
Maple je také systém určený pro tvorbu technických dokumentů u řešení inženýrských a ekonomických úloh. Součástí Maplu je plnohodnotný editor, který umožňuje intuitivně spojovat matematické výpočty a text s komentáři a vysvětlivkami. Zápisník je také možné dále strukturovat do sekcí a paragrafů. Pro prezentaci na webu je Maple schopen exportovat zápisníky do jazyka HTML, případně pro další zpracování ve formě dokumentů je možné použít export do jazyka LaTeX nebo formátu RTF.
Pokud je Maple nainstalován přímo na studentově počítači, může si student stáhnout zápisníky pro vlastní studium a další zkoumání probírané látky. Matematické modely jsou v zápisníku „živé“, tj. je možné jejich parametry měnit a model tak může být přepočítán za účelem nalezení odpovědi na otázky „co kdyby“, které dále vedou k hlubšímu pochopení probírané látky a vlastností modelu. Pokud Maple takto nainstalován není, student si může stáhnout HTML verze zápisníků a přečíst si je pomocí webovského prohlížeče (MS Internet Explorer, Opera, Mozilla, atd.). Díky tomu se mohou výuky zúčastnit i studenti, kteří nejsou přítomni u počítačů s nainstalovaným systémem Maple.
Maplet™ technologie je nová ICT obsažená v Maplu. Pomocí této technologie je možné vytvářet standardní grafické uživatelské rozhraní, které pracuje společně s matematickým prostředím Maplu. V tomto prostředí mohou učitelé využívat možností Maplu, prezentovat určité postupy řešení nebo k těmto řešením vytvářet grafy. Tento interface umožňuje doplňovat ICT pro e-learningové kurzy matematických disciplína poskytovat studentům prostředí pro simulaci a implementaci sofistikovaných matematických konstrukcí a modelů. 
Výukové nástroje vytvářené s využitím technologie Maplet jsou nazývány „Mapletovské výukové objekty (MVO)“ (angl. Maplet Learning Objects). Pokud není Maple nainstalován na studentově počítači, je nutno, aby student měl přístup k systému MapleNet a tyto MVO mu budou přístupné z Internetu na serveru MapleNetu.
MapleNet™ se skládá ze dvou spolupracujících serverů. První umožňuje klientskému počítači u studenta využívat „Mapletovské výukové objekty - MVO“ (Maplety a Java MapleNet Aplety). Druhý server, takzvaný „publisher“, se využívá jako sklad těchto MVO. Tento systém umožňuje studentům, kteří nemají nainstalovaný Maple, ale mají přístup k serveru MapleNet, aby zpracovávali MVO prostřednictvím Internetu.
Maple T.A.™ je webovsky orientovaný systém pro prověřování znalostí studentů pomocí cvičení, domácích úloh a testů. Studenti se přihlásí ze svého klientského počítače připojeného na Internet a mohou si procvičovat znalosti z probírané látky, nebo v rámci domácích úloh a testů vybírat odpovědi na jednoduché a složitější otázky, anebo na zadané otázky odpovídat pomocí komplikovanějších matematických výrazů a formulí. 
Výhoda používání LMS systému ME je v integraci všech důležitých součástí výuky nutné pro rozsáhlé aplikace matematiky a matematických disciplín on-line.

3. Vývoj kurzů matematických disciplín využitím systému ME

V připravovaných e-learningových kursech zaměřených na výuku matematických disciplín studenti na Podnikatelské fakultě VUT v Brně postupně procházejí procesem výuky od nastudování probírané látky, přes její procvičování a utvrzování znalostí až k jejich ověření za pomocí hodnocených domácích úloh a automaticky kontrolovaných testů a zkoušek. 

3.1 Příprava výuky

Cyklus výuky matematických disciplín s využitím ME sestává z následujících kroků:
I. Příprava přednášek: Program Maple umožňuje učitelům matematických disciplín tvorbu strukturovaných dokumentů pro snadné vedení přednášky a současně poskytuje studentům možnost, aby si zopakovali znalosti z přednášky. Vytvořené výukové dokumenty lze zveřejnit pomocí Maplovských zápisníků a HTML dokumentů. K podpoře tvorby výukových dokumentů je možno využít hotové zápisníky např. z webovských stránek aplikačního centra Maple (http://www.maplesoft.com/applications). 
II. Vytvoření příkladů pro pochopení a samostatné procvičování: Systému MapleNet lze výhodně využít při aplikacích “živé matematiky” ve výuce matematických disciplínjako jsou jednorozměrné a vícerozměrné grafy, jejich animace a jednoduché řešení příkladů pomocí technologie Mapletů. Tímto způsobem student při procvičování probrané látky lépe pochopí danou problematiku.
III. Kontrolní procvičování a zkoušení: V závěrečně fázi výukového procesu poskytuje systém Maple T.A. výraznou pomoc učitelům při zadání studentských testů a cvičení, hodnocení jejich řešení a následné zkoušení.

3.2 Metodika výuky matematického modelování

Jedním z výsledků grantu FRVŠ ministerstva školství České republiky “Zlepšování výuky pomocí systémů počítačové algebry” na Masarykově universitě v Brně je nová metodika pro matematickou výuku on-line, která byla vytvořena ve spolupráci s Fakultou stavební a Fakultou podnikatelskou VUT v Brně. 
Tato metodika je založena na tom, že pro každou lekci se zpracovává pro pět výukových etap – Přehled teorie, Prezentace teorie pomocí Mapletů, Cvičení, Domácí úkoly a Znalostní test pomocí Maple T.A :
I. Přehled teorie. Každá lekce je vytvořena v Maplovském zápisníku, který obsahuje přehled matematické teorie týkající se dané lekce a obsahuje příklady, grafy a animace. Studenti, kteří mají k dispozici systém Maple, si mohou zápisník prohlížet “živě” a měnit parametry grafů a příkladů a tak mohou být otázky studentů částečně zodpovězeny již v rámci zápisníku. Studenti bez přístupu k Maplu si mohou prohlédnout zpracované zápisníky ve formě HTML dokumentů, které obsahují veškerou matematickou teorii a grafiku dostupnou v zápisníku.
II. Prezentace teorie pomocí Mapletů. Každá lekce je spojena s MVO, který se – pokud je dostupný Maple – spustí na studentově počítači. Tyto výukové programy obsahují různé simulace či animace, které mohou zobrazovat například způsob aproximace plochy pod křivkou pomocí obdélníků, případně náročnější aplikace jako jsou grafy řešení obyčejných nebo parciálních diferenciálních rovnic, atd. Bez nainstalovaného programu Maple mohou být MVO také spuštěny přes Internet pomocí technologie MapleNet.
III. Procvičování s Maple T.A.. Každá lekce obsahuje odkaz na několik cvičení v Maple T.A. Tato cvičení jsou anonymní a při jejich řešení se nezaznamenávají výsledky studentů. Při ukončení cvičení studenti obdrží odpověď na jednotlivé otázky, které se náhodně generují z předem vytvořené sady otázek.
IV. Domácí úkoly s Maple T.A.. Každá lekce obsahuje hodnocený domácí úkol. Domácí úkoly v Maple T.A. mohou být sestaveny ze stejné sady algoritmicky generovaných otázek jako jsou použité při procvičování. Navíc jsou v zadaném domácím úkolu vybraná cvičení z učebnice kurzu. Studenti dostanou odpověď na každou otázku v domácím úkolu a v případě nedostatečného výsledku si mohou úkol zopakovat.
V. Znalostní test s Maple T.A.. Vybraná lekce obsahuje sadu problémů z předchozích cvičení. Každý z těchto testů je omezen časovým limitem. Výsledky těchto testů jsou v Maple T.A. zaznamenávány a po ukončení časového limitu studenti obdrží odpovědi na řešené testy.

Dohromady těchto pět oblastí se spojuje prostřednictvím systému ME a vytváří významné rozšíření ke standardním kurzům pro výuku matematických disciplín. Interaktivní části v zápisnících spolu s doprovodnými Maplety poskytují okamžitou odezvu studentům a umožňují jim lepší pochopení teorie, kterého není možné dosáhnout pomocí standardních učebnic. 

3.3 Práce učitele v systému Maple T.A. 

Pro každou tematiku je v rámci Maple T.A. administrátorem vytvořen samostatný účet, který učitel daného předmětu dále využívá.
Tvorba systému pro zkoušení probíhá ve dvou fázích. V první fázi je vytvořena databáze otázek a odpovědí, ve druhé části jsou otázky rozvrženy do jednotlivých cvičení, domácích úkolů a testů.
Při vytváření otázek je možné vybrat z mnoha možností formy otázky. Mezi základní patří výběr z jedné nebo více možností, výběr z různých grafů a pochopitelně zadání odpovědi ve formátu Maple. Tato možnost je specifická zvláště tím, že vyžaduje po studentech nalezení vlastního řešení, přičemž není důležité, v jaké formě student řešení  vytvoří, pomocí nástrojů Maple je lze porovnat s originálním řešením a určit jeho pravdivost.
Druhou fází je rozvržení otázek do jednotlivých cvičení, domácích úloh a testů. Tento proces je vícestupňový a umožňuje zařadit pro každý příklad více otázek, které jsou při zkoušení náhodně vygenerovány. Pochopitelně je možné zařadit jednu otázku do více cvičení, úloh nebo testů a tímto způsobem motivovat studenty k procvičování nehodnocených cvičení.
Maple T.A. obsahuje také několik nástrojů pro hodnocení a kontrolování výsledků studentských prací, pro analýzu statistik a pro administraci  jednotlivých studentů. Celý systém hodnocení je rozčleněn do čtyř základních skupin:
I. Hodnocení studentů: V této skupině si učitel pomocí přehledné tabulky prohlíží výsledky jednotlivých studentů podle vybraných domácích úloh a testů. V tabulce jsou uvedeny nejen získané bodové hodnoty, ale k jednotlivým úkolům a testům je možné podle významu přiřadit procentuální hodnotu a tak jednoduše zjistit celkové výsledky.
II. Statistický přehled výsledků: Tabulka zobrazená v rámci této skupiny obsahuje statistickou analýzu nejen hodnocených úkolů a testů, ale i nehodnocených cvičení. V přehledu jsou uvedeny například maximální a minimální výsledky, aritmetický průměr nebo medián. Tyto hodnoty umožňují učiteli nalézt oblasti, ve kterých mají studenti problémy, a znovu je zopakovat.
IV. Výsledky jednotlivých příkladů: Zde jsou do zobrazeny podrobnosti o výsledcích jednotlivých příkladů v rámci vybraného úkolu nebo testu. Vzhledem k tomu, že příklady jsou vybrány z různých oblastí, je možné přesněji určit a nalézt specifické oblasti nutné ke zopakování.
V. Administrace studentů: V této části může učitel procházet výsledky jednotlivých studentů, zjišťovat stupeň jejich znalosti a podle výsledků studenty dále směřovat. Současně je možné vybranému studentovi nebo vybrané skupině studentů napsat e-mail. Specifikem je možnost upravit výsledky hodnocení jednotlivých příkladů s ohledem na přesnost odpovědi.

3.4 Práce studenta v systému Maple T.A.

Základem práce studenta v rámci systému Maple T.A. je jeho registrace do vybraného předmětu. Poté, co vyplní základní údaje pro systém se může přihlašovat do jednotlivých domácích úkolů a testů, přičemž systém si o výsledcích jednotlivých příkladů vede záznamy. Studenti, kteří si pouze chtějí své znalosti zopakovat a procvičit, aniž by potřebovali následné vyhodnocení, se nemusí v Maple T.A. zaregistrovat.
Při zpracování domácích úkolů a testů postupuje student podle pořadí jednotlivých příkladů, přičemž se k nim může vracet. V rámci jednoho příkladu může být více variant otázek, navíc jsou odpovědi na jednotlivé otázky promíchány.
Maple T.A. automaticky vyhodnocuje znalost studentů z probrané matematické látky, přičemž umožňuje přejít od jednoduchých otázek zadaných výběrem po náročnější otázky vyžadující vlastní řešení studenta ve formě výsledného výrazu. V takovém případě je systém Maple T.A. schopen zjistit ekvivalenci mezi originálním řešením a řešením, které zadal student.
Praktické problémy prezentované a hodnocené pomocí Maple T.A. prohlubují znalosti studentů a testují čemu studenti rozumí a co nepochopili. Automatické hodnocení cvičení a testů umožňuje zaznamenávat pokroky ve znalostech studentů a umožňují rovněž učitelům odpovídajícím způsobem změnit své učící techniky.

4. Závěr

Systém ME firmy Maplesoft nabízí efektivní ICT k zlepšení výuky matematických disciplína nejobecněji matematiky a příbuzných oborů s využitím Internetu na vysokých školách technického zaměření. Umožňuje řešit problémy distanční výuky a mnoha netradičních distančních forem výuky, přičemž současně postupuje podle standardních výukových metod a současně doplňuje nové schopnosti, kterých nelze dosáhnout pomocí existujících výukových materiálů. 
LMS systém ME firmy Maplesoft může být integrován do komerčních nástrojů pro e-learning jako jsou např. systém EDU firmy Brownstone nebo systémy WebCT, eCollege, Desire2Learn a Blackboard® anebo do universitních informačních systémů na MU a VUT v Brně.
Hlavní předností systému ME je však propojení všech nezbytných součástí pro obsáhlé aplikace matematických disciplín on-line, tj. řešení netriviálních technických a ekonomických problémů s využitím Maple, aniž by student musel vyvíjet složitě speciální programy k jejich řešení. Tímto způsobem umožňuje učitelům věnovat se plně základům problematiky a studentům dává nástroj k jejímu plnému pochopení.

Literatura 

[1]	Hřebíček J., Kohout, J., Hřebíčková J., Mezník I., Chvátalová Z: Elektronická podpora výuky matematiky s využitím systému počítačové algebry Maple. Pedagogický software 2004. Scientific Pedagogical Publishing, České Budějovice, 2004. ISBN  80-85645-49-1
[2]	Gander W., Hřebíček J.: Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab. Fourth ed. Springer Verlag, Berlin. 2004. ISBN 3-540-21127-6
[3]	Dalík J., Hřebíček J., Hřebíčková J., Ráček J., Slaběňáková J.: Využití informační technologie Maple ve výuce matematiky a ekonometrie. Tanger s.r.o. Ostrava, 2001.
[4]	Dufek J., Hřebíček J.: Paradigm of Solving Problems in Econometrics. Acta Universitatis Agriculturae et Silviculturae Mendelianae Brunensis. Vol. XLVIII, No. 2, 33-36.
[5]	Hřebíček J., Hřebíčková J., Kohout J., Ráček J.: Using information and communication technology academic enterprise in e-learning of mathematics. In Information and Communication Technology in Education. Ostrava : University of Ostrava, 2004. s. 182-186. ISBN 80-7042-993-3