Aplikace regresní analýzy při optimalizaci složení 
vyráběné dřevocementové izolační hmoty
Radek Steuer, Stanislav Šťastník 
VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav technologie stavebních hmot a dílců  
e-mail: steuer.r@fce.vutbr.cz , stastnik.s@fce.vutbr.cz 
Abstrakt 
Pro efektivní průmyslovou výrobu moderních stavebních materiálů je důležitá optimalizace procesu jejich výroby. Při výrobě stavebních hmot se klasicky během vývojových a předvýrobních zkoušek provádí optimalizace složení výrobní směsi a technologických podmínek výroby ovlivňujících výsledné vlastnosti vyráběného materiálu, tato optimalizace se v praxi nejčastěji realizuje pouze na základě kvalifikovaného odhadu dle zkušeností experta (tzv. technologa) s danou výrobou. 
Je zřejmé, že při velkém množství parametrů, na kterých jsou výsledné užitné vlastnosti vyráběného materiálu závislé (jimiž mohou být např. množství jednotlivých složek výrobní směsi, nebo různé technologické parametry výroby, jako teplota, tlak, otáčky míchadla, apod.), je takový proces získávání zkušeností experta s danou výrobou značně náročný na čas, a tím i peníze. Pro zjednodušení a zrychlení tohoto procesu může být často výhodné vypomoci si (s využitím [3] a [5]) vcelku jednoduchými postupy regresní analýzy a matematické optimalizace.
V příspěvku je uveden příklad využití regresní analýzy při optimalizaci složení dřevocementového tepelně izolačního materiálu.
1. Úvod
Optimalizace složení byla provedena pro tepelně izolační hmotu, jež se užívá jako výplň dutin vytvořených ve stavebních konstrukcích – její mechanické vlastnosti pro daný účel užití tedy nejsou příliš důležité. Jako hodnotící kritérium optimalizace je zde proto vzata pouze minimální hodnota součinitele tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1]; srov. [1], str. 29.  Jako parametry, na nichž je u tohoto materiálu součinitel tepelné vodivosti nejvíce závislý, jsou vzaty i) hmotnostní poměr cement/dřevité částice, označený P [kg.kg-1], charakterizující složení materiálu, ii) poměr objemu látky bez mezer mezi částicemi ku celkovému objemu látky i s mezerovitostí,  označený Z [m3.m-3], charakterizující míru zhutnění. Poněvadž tepelná vodivost materiálů na dřevité bázi je velmi závislá na jejich aktuální vlhkosti, musel být v souladu s [6], str. 22, a [2], str. 41, pro započtení vlivu vlhkosti materiálu přibrán další parametr, a to hmotnostní vlhkost um [%] (obsah vlhkosti materiálu, při které byl stanoven jejich součinitel tepelné vodivosti λ).
2. Vstupní hodnoty pro regresní analýzu
V tomto odstavci budou stručně popsány vstupní hodnoty a způsob, jakým byly získány. Nejprve byla navržena sada experimentálních vzorků s předem určenými výrobními parametry. Pro tento účel byly připraveny vzorky, u nichž se hmotnostní poměr cementu a dřevitých částic pohyboval v intervalu . Navrženo bylo 10 různých druhů receptur (dále označovaných čísly 1 – 10) rovnoměrně pokrývajících výše zmiňovaný interval. 
Dále byly u každé z těchto navržených receptur zkoušeny tři různé úrovně zhutnění Z:
•	A  silně zhutněno 	(Z = 0,185 m3.m-3), 
•	B  normálně zhutněno	(Z = 0,150 m3.m-3), 
•	C  lehce zhutněno 	(Z = 0,125 m3.m-3).
Celkem tedy bylo zkoušeno 30 různých variant tohoto materiálu lišících se svým složením a mírou zhutnění. Hodnota vodního součinitele (poměru míšení vody a cementu) byla u všech záměsí stejná, a to 0,26. V níže uvedených tabulkách jsou hodnoty příslušející jednotlivým vzorkům označeny kombinací čísla (1 – 10) a písmena (A – C) podle výše uvedeného klíče.
Pro účely matematického vyhodnocení musela být míra zhutnění Z při výrobě vzorků, dodržovaná pouze přibližně a značená pro jednotlivé skupiny vzorků písmeny A, B a C, zpětně dopočítána a přesněji kvantifikována pomocí veličiny míra zhutnění Z [m3.m-3], definované v předchozí podkapitole.

	P	Z	
	[kg.kg-1]	[m3.m-3]	
	A	B	C	A	B	C	
1	2,30	2,30	2,30	0,187	0,153	0,123	
2	2,48	2,48	2,48	0,187	0,157	0,109	
3	2,63	2,63	2,63	0,194	0,143	0,136	
4	2,79	2,79	2,79	0,178	0,146	0,124	
5	2,92	2,92	2,92	0,193	0,149	0,114	
6	3,10	3,10	3,10	0,160	0,147	0,128	
7	3,41	3,41	3,41	0,181	0,149	0,130	
8	3,69	3,69	3,69	0,173	0,152	0,120	
9	4,03	4,03	4,03	0,180	0,158	0,141	
10	4,63	4,63	4,63	0,203	0,146	0,134	
Tab. 1:  Hmotnostní poměr cement/dřevité částice P a míra zhutnění Z (poměr objemu látky bez mezer mezi částicemi ku celkovému objemu látky i s mezerovitostí) jednotlivých vyrobených vzorků.
Na této sadě vzorků byly provedeny dle příslušných technických norem zkoušky pro zjištění hodnot součinitele tepelné vodivosti λ a obsahu vlhkosti um (při kterém byla tepelná vodivost zjišťována) příslušející ke každému jednotlivému vzorku.

	Λ	um	
	[W.m-1.K-1]	[%]	
	A	B	C	A	B	C	
1	0,075	0,070	0,061	33,4	30,1	26,6	
2	0,077	0,079	0,068	33,0	29,4	25,8	
3	0,088	0,074	0,059	32,2	30,9	25,5	
4	0,082	0,056	0,057	21,2	23,9	14,1	
5	0,086	0,059	0,068	31,7	13,8	25,0	
6	0,066	0,067	0,070	35,1	33,1	30,3	
7	0,085	0,060	0,071	36,5	35,4	31,8	
8	0,081	0,062	0,064	35,9	33,0	33,0	
9	0,074	0,070	0,070	20,7	20,2	37,0	
10	0,099	0,071	0,069	40,2	34,0	31,6	
Tab. 2:  Přehled zjištěných hodnot součinitele tepelné vodivosti λ a hmotnostní vlhkosti um (při které byla tepelná vodivost zjišťována) jednotlivých vyrobených vzorků.
3. Odhad regresní funkce
První část optimalizačního výpočtu se zabývá nalezením odhadované regresní funkční závislosti mezi součinitelem tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1], poměrem cement/hobliny P [kg.kg-1], mírou zhutnění materiálu Z [m3.m-3] a hmotnostní vlhkostí um [%], tj.
	,	(1)
kde:	λ	součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1],
um	hmotnostní obsah vlhkosti [%],
P	vzájemný hmotnostní poměr složek materiálu cement/dřevité částice [kg.kg-1],
Z	míra zhutnění materiálu vyjádřená jako poměr objemu látky bez mezer 
mezi částicemi ku celkovému objemu látky i s mezerovitostí [m3.m-3].
Pro aproximaci této závislosti bylo vyzkoušeno několik různých tvarů regresních funkcí a podle kritéria nejmenšího součtu čtverců odchylek mezi naměřenými hodnotami a proloženou regresní funkcí byla pro aproximaci dané závislosti nakonec zvolena jakožto nejpřiléhavější funkce kvadratického polynomu:
	,	(2)
kde:	a, b, c, d, e, f, g	bezrozměrné koeficienty regresní funkce.

Zvolená regresní funkce s již nalezenými nestrannými odhady regresních koeficientů:
		(3)
Zjištěná funkce je rovnicí nadplochy ve čtyřrozměrném prostoru. Z hlediska optimalizace výroby tohoto materiálu jsou zajímavé zejména plochy (řezy této nadplochy), které lze „vizualizovat“ do podoby trojrozměrných grafů, vyjadřujících danou závislost pro různé úrovně parametrů na nichž je součinitel tepelné vodivosti λ závislý. Jako příklad je na obrázku č. 1 graficky vyobrazena odhadnutá regresní závislost (plocha) veličiny  na parametrech P a um pro míru zhutnění materiálu Z = 0,185 m3.m-3.

Obr. 1: Grafické zobrazení závislosti mezi součinitelem tepelné vodivosti λ, poměrem cement/dřevo P a hmotnostní vlhkostí um pro míru zhutnění  materiálu Z = 0,185 m3.m-3. 
Koeficient korelace mezi soubory naměřených a pomocí regresní funkce vypočtených hodnot součinitele tepelné vodivosti nabývá hodnoty r = 0,81. Pro zajímavost jsou v následující tabulce uvedeny koeficienty korelace mezi veličinami (parametry) uvažovanými v regresní funkci, které něco vypovídají o závislosti (či nezávislosti) jednotlivých parametrů mezi sebou.

	λ	um	P	Z	
λ	1	0,548	0,247	0,698	
um	0,548	1	0,358	0,285	
P	0,247	0,358	1	0,083	
Z	0,698	0,285	0,083	1	
Tabulka 3: Matice výběrových koeficientů korelace mezi uvažovanými veličinami. 
4. Nalezení optimálního poměru cementu a dřevitých částic 
V této části je hledáno optimum veličiny P – poměru cement/dřevo ve směsi. Optimum náleží minimální hodnotě součinitele tepelné vodivosti λ nacházející se na vyšetřované oblasti Ω vymezené mezními hodnotami vstupních technologických parametrů P a Z a hmotnostních vlhkostí vzorků um : 

Obr. 2: Zobrazení závislosti mezi součinitelem tepelné vodivosti λ, poměrem cement/hobliny P a mírou zhutnění Z pro vlhkost  materiálu um = 15%. 

Z grafů a charakteru zvolené regresní funkce je patrné, že existuje globální minimum součinitele tepelné vodivosti λ v závislosti na poměru cement/hobliny P pro každé um a Z. Minimum se nachází právě v intervalu hodnot P patřícího do vyšetřované oblasti Ω. Díky tvaru zvolené regresní funkce je navíc hodnota P příslušející tomuto minimu pro všechna um a Z konstantní. Dosazením do podmínky pro extrém dostáváme: 
	.	(3)
Po derivování a jednoduchých úpravách podmínka přejde na jednoduchou rovnici označující jediný bod na ose dimenze P:
	 .	(4)
Tato hodnota je hledaným optimálním poměrem cement/hobliny P pro vyvíjený materiál, z hlediska minimalizace součinitele tepelné vodivosti λ.
5. Závěr 
Optimalizace složení výrobní směsi materiálu je významná pro efektivní výrobu moderních materiálů. V praxi se taková optimalizace nejčastěji realizuje pouze na základě kvalifikovaného odhadu dle zkušeností experta (tzv. technologa) s danou výrobou.
Užití regresní analýzy a matematické optimalizace přináší zrychlení a zkvalitnění procesu takové optimalizace, a to nejen pouze v uvedeném příkladu – obdobný přístup je použit např. v [4] pro identifikaci hodnot součinitele tepelné vodivosti a měrného tepla originálním měřicím zařízením. Je škoda, že se ve výrobní praxi při optimalizacích výroby stavebních hmot využívá matematických postupů jen velmi zřídka.

Poděkování. Tento příspěvek byl vytvořen s podporou grantu GA ČR 103/05/H044 a výzkumného záměru MSM 0021630511.

Použitá literatura 
[1]	Davies, M. G.: Building Heat Transfer, John Wiley & Sons, 2004.
[2]	Koronthályová, O., Matiašovský P.: Thermophysical parameters of calcium silicate insulation measured by guarded hot plate and pulse transient method, Proc. Thermophysics, STU Bratislava, 2003, str. 39-45. 
[3]	Koutková, H.: Pravděpodobnost a matematická statistika – základy terorie odhadu, základy testování hypotéz, elektronický učební text, FAST VUT Brno, 2004.
[4]	Šťastník, S., Vala, J., Kmínová, H.: Identification of basic thermal technical characteristics of building materials, Kybernetika 42, Praha, 2007, v tisku.
[5]	Vala, J.: Lineární prostory a operátory, elektronický učební text, FAST VUT Brno, 2004.
[6]	Wit, M. H.: Heat and Moisture in Building Envelopes, TU Eindhoven, 2006.