AKO NÁJSŤ RIEŠENIE, ALEBO G. PolyA A JEHO HEURISTICKÁ METÓDA 
Tomáš Lengyelfalusy
Abstract. In our paper we deal with G. Polya, an important personality of the world´s didactics of the 20th century mathematics and with didactic aproaches and methods. In the first part of our paper we introduce G. Polya as a mathematician and didactician and in the second part we devote ourselves to his most famous work “How to solve it”. 
Úvod
Staré príslovie hovorí, že teória bez praxe je ako voz bez kolesa. Myslíme si, že horeuvedené tvrdenie obzvlášť platí aj v matematike, pri osvojovaní si nových matematických poznatkov. Často sa totiž stáva, že študenti teoreticky ovládajú dané učivo (naučili sa definície a vety, vzorce a rôzne vzťahy), ale pri riešení konkrétnych praktických úloh majú problémy. Takýto jav je vo vyučovaní matematiky neprípustný a je úlohou každého vyučujúceho, aby sa snažil teoretické vedomosti podávať spolu s ich praktickými aplikáciami a zvlášť dbať o to, aby študenti dokázali aj samostatne riešiť matematické úlohy. 
V záujme dosiahnutia horeuvedených cieľov, stále hľadáme nové formy a metódy a vynaložíme obrovskú energiu na zefektívňovanie vyučovania matematiky. V tomto krátkom príspevku chceme predstaviť známeho didaktika matematiky, G. Polyu, ktorého heuristická metóda je skutočným liekom na mnohé súčasné problémy didaktiky matematiky. Paradoxom je, že autor svoje revolučné myšlienky publikoval pred vyše 60 mi rokmi a hoci dnešní didaktici matematiky s obľubou ho citujú, jeho koncepcia v našej zemepisnej šírke sa (ešte) nedostala do každodennej praxe vyučovania matematiky.
Najprv stručne predstavíme autora, G. Polyu a potom sa budeme venovať jeho didaktickým myšlienkam a jeho najznámejšej publikácii „How to solve it“ (Ako nájsť riešenie), ktorá (dúfame) práve na autorove 120. narodeniny vychádza prvýkrát v slovenskom jazyku.

1. George Polya (1887 – 1985) ako človek, matematik a didaktik 

George Polya sa narodil 13. decembra 1887 v Budapesti. Rodné meno jeho otca, ktorý zomrel v roku 1897, bolo Jakab Pollák. Jeho rodičia boli židia a ich priezvisko evokovalo poľský pôvod, preto je dosť pravdepodobné, že jeho predkovia emigrovali z Poľska do Maďarska, kde anti-semitizmus nebol až taký výrazný. Jakab konvertoval na katolícku vieru v nádeji, že to mu pomôže v jeho kariére, a preto si tiež zmenil meno na maďarsky znejúce, Pólya. 
George študoval na štátnej strednej škole s veľmi dobrou reputáciou. Bol veľmi zdatný a venoval sa rôznym druhom športu. Škola, ktorú navštevoval zastávala názor učenia sa naspamäť, čo George považoval za veľmi nudné, ale neskôr si uvedomil užitočnosť aj takého spôsobu učenia sa.
V mladšom veku sa George vôbec nezaujímal o matematiku. V roku 1905 zmaturoval na gymnáziu ako jeden zo štyroch nejlepších študentov školy, a tým si zaslúžil štipendium na univerzite v Budapesti, kde začal hneď v roku 1905 študovať. Študoval právo, ako jeho otec, ale po čase sa mu to zunovalo, a preto prešiel na jazyk a literatúru. Obzvlášť ho zaujímalo štúdium latinčiny a maďarčiny. 
Jeho vývoj a ďalšie smerovanie značne ovplyvnil matematik Lipót Fejér.  Bol to matematik celým srdcom a na Polyu veľmi zapôsobili jeho myšlienky. Polya veril, že časopisy, v ktorých Fejér publikoval svoje články mali obrovský vplyv na rozvoj matematického myslenia študentov. Polya, inšpirovaný Fejérom, teda presmeroval svoje štúdium na matematiku. Počas tohto štúdia bol veľmi usilovným a horlivým študentom. Chodil na prednášky, čítal veľa kníh, snažil sa chápať riešenia úloh, ale vždy ho trápila otázka: „Áno, vyzerá to tak, že toto riešenie je naozaj správne, ale ako je možné dopracovať sa k takému riešeniu?“ 
 „Ako by som mohol ja sám nájsť tieto dôkazy?“
V roku 1910 ukončil celé svoje štúdium (aj s doktorátom), ale dizertačnú prácu neodovzdal. Odišiel na rok do Viedne, a keď sa v roku 1911-12 vrátil do Budapesti, odovzdal svoju dizertačnú prácu a popri tom sa srtretol s Gáborom Szegöm, ktorý sa stal jedným z jeho hlavných spolupracovníkov. 
	Koncom roka 1912 odišiel do Göttingenu na post-doktorandské štúdium. V roku 1913 dostal ponuku na pozíciu vo Frankfurte, ale bol Nemeckom sklamaný, preto túto príležitosť odmietol po tom, ako ho niekto vo vlaku nazval „špinavým židom“. Po tejto nepríjemnej skúsenosti sa odsťahoval do Paríža, kde na parížskej univerzite začal ďalšie post-doktorandské štúdium. 
V roku 1914 prijal miesto na Eidgenossische Technische Hochsschule (ETH) v Zürichu. Táto škola je známa menami ako Röntgen a Einstein, ktorí tam študovali.
V roku 1914 bol Polya povolaný do armády, ale pretože medzičasom prijal Russelovu teóriu pacifizmu, odmietol nastúpiť. Zo strachu, že by mohol byť zatknutý za vlastizradu, sa nevrátil do Maďarska až do konca Druhej svetovej vojny. V Zürichu sa stretol so Stellou Weberovou a v roku 1918 sa zosobášili, a boli spolu až do Polyovej smrti, teda 67 rokov. Nemali žiadne deti.
V roku 1940 boli Polyovci znepokojení vojnou a nemeckým fašizmom, a preto sa kvôli Georgovmu židovskému pôvodu, a kvôli možnosti, že Švajčiarsko napadnú Nemci, presťahovali do Spojených štátov amerických. Szegö, Polyov dávny kolega, mu ponúkol miesto vo výskume v Stanforde, ale Polya ho zo začiatku odmietol a prijal miesto na Univerzite v Brown. V roku  1942 sa však predsa presťahoval do Stanfordu. Polya tu začal pracovať na nových štúdiách, ktoré vychádzali z jeho veľkého záujmu o učenie a heuristiku. Tieto štúdia viedli k tomu, že na jeseň, v roku 1945, zaviedol na Stanfordskej univerzite nový predmet „Mathematical methods in Science“ (Matematické metódy vo vede), v ktorom prvý krát predstavil študentom všeobecné a matematické metódy dedukcie a indukcie, vzťah medzi matematikou a vedou, rovnako ako „používanie intuície pri riešení matematických úloh“.
Študoval rôzne aspekty úlohy, všeobecné aj špecifické, preformuloval ju niekoľkými spôsobmi a vyskúšal všetky možné spôsoby, ktoré by mohli dôjsť k jej vyriešeniu. Preštudoval niekoľko spôsobov, ktorými je možné dokázať pravdivosť vety alebo obmeniť postup riešenia, vždy zo zámerom nájsť riešenie úlohy. Vytvoril aj zoznam typických otázok, ktoré sa mu stále núkali v priebehu riešenia úlohy. 
Vyučoval aj heuristiku, kde sa sústredil na úlohy a riešenia využitím rôznych metód od klasickej logiky až po heuristickú logiku. Tento predmet prilákal množstvo študentov aj z odboru výchovy a vzdelávania, psychológie a filozofie a bol založený na Polyovej, vtedy veľmi známej knihe How To Solve It.  V Spojených štátoch amerických a najmä na Stanfordskej univerzite sa stal najväčšou autoritou vyučovania riešenia matematických úloh. Po odchode do dôchodku, Polya aj naďalej žil, pracoval a tvoril v Stanforde až do svojej smrti v roku 1985. 
Polya aktívne pôsobil vo viacerých oblastiach matematiky, ako napríklad teória pravdepodobnosti, koplexná analýza, kombinatorika, teória čísel, geometria, matematická fyzika. (V tomto príspevku sa sústredíme len na jeho didaktické výsledky). Videl veľký význam v súťažiach, preto v roku 1946, v spolupráci v Gaborom Szegöm, začal prvý ročník matematickej súťaže na Stanfordskej univerzite (Stanford University Competitive Examination in Mathematics). V prvom roku sa do súťaže prihlásilo 322 študentov zo 150 rôznych škôl západných štátov. Táto súťaž pokračovala až do roku 1965. Polya však aj naďalej pokračoval v publikovaní štúdijnych materiálov na riešenie matematických úloh v rôznych časopisoch a knihách. V roku 1945 vydal Polya svoju najvýznamnejšiu knihu, How To Solve It, ktorej sa budeme podrobnejšie venovať. V roku 1954 vydal dvojzväzkovú knihu Mathematics and Plausible Reasoning a v roku 1962 a 1965 ďalšie dva zväzky, pod názvom Mathematical Discovery. 
Aj v dôchodkovom veku Polya prejavil aktívny záujem o zdokonalenie vyučovacích štandardov, a preto podnikol kroky, ktoré viedli k založeniu 8-týždňového Letného inštitútu pre učiteľov matematiky (eight-week Summer Institute for mathematics Teachers), najprv na úrovni vysokých škôl, a neskôr aj pre učiteľov stredných škôl.
V čase, keď Polya napísal knihu How To Solve It (Ako nájsť riešnie) prevládal vo vyučovaní matematiky, ale aj vo vyučovaní všeobecne, autoritatívny prístup učiteľa, pri ktorom celý proces učenia spočíval v tom, že žiaci ticho sedeli a celú hodinu počúvali, čo im učiteľ prednáša. Takže by sme ho mohli charakterizovať ako proces zameraný na učiteľa („teacher-centered teaching“). Úlohou žiakov bolo zapamätať si čo najväčšie množstvo informácií, ktoré im učiteľ sprostredkuje. 
Polya sa vo svojom diele snaží presadiť presne opačný proces vyučovania, a to taký, ktorý by bol zameraný na žiaka („student-centered teaching“). V tomto procese by mal žiak možnosť aktívne sa zapojiť do hodiny, klásť otázky.       Práve toto je jedným z faktov, v ktorom spočíva nadčasovosť tohto diela. Ešte aj dnes, vyše 60 rokov po vydaní tejto knihy, sa stále snažíme hľadať vhodné metódy vyučovania, ktorými by sme žiakom sprístupnili a zjednodušili proces učenia sa. Aj u nás, na Slovensku, sa totiž často môžme stretnúť s autoritatívnym prístupom učiteľov k vyučovaniu, v ktorom žiaci nemajú možnosť aktívne sa zapájať do hodiny a sami tak objavovať krásy matematiky. 
Na dosianutie svojho cieľa Polya použil, v tej dobe veľmi zanedbávaný, heuristický prístup k vyučovaniu. Čo ho viedlo práve k takejto voľbe? 
Ako sme už vyššie spomenuli, Polya sa na univerzite stal veľmi horlivým študentom, ktorý veľa čítal a snažil sa aj pochopiť, čo čítal a nechcel len tupo memorovať jednotlivé dôkazy. S týmto cieľom sa v priebehu učenia dostal k niekoľkým otázkam:      
 „Áno, vyzerá to tak, že toto riešenie je naozaj správne, ale ako je možné dopracovať sa k takému riešeniu?“ 
„Áno vyzerá to, že tento pokus je správny a zdá sa, že to je pravdivé tvrdenie, ale ako sa človek dopracuje k takému tvrdeniu?“
„Ako by som mohol ja sám nájsť tieto dôkazy?“
Chápal správnosť toho, čo čítal, ale chcel vedieť či by sa aj on sám bez pomoci knihy dokázal k týmto dôkazom dopracovať. Pokúšal sa teda sám, vlastnými silami, nájsť riešenie úlohy alebo dôkaz vety. Po istom čase si uvedomil, že v priebehu riešenia sa mu stále v jednotlivých fázach núkajú tie isté otázky, ktoré istým spôsobom usmerňujú jeho myslenie tak, aby stále dokázal udržať na zreteli základné informácie, ktoré daná úloha ponúka a efektívne s nimi pracovať a narábať. Takto sa nakoniec skôr či neskôr dopracoval k správnemu riešeniu alebo k dôkazu.
Polya si uvedomoval aký obrovský vplyv mal tento spôsob riešenia úloh na jeho myslenie a výsledky, ktoré ním dosahoval, a to ho doviedlo k poznaniu, že školy vôbec nevenujú pozornosť rozvoju myslenia žiaka, len ho napĺňajú často nejasnými informáciami. 
Začal sa teda podrobnejšie venovať štúdiu rozvoja myslenia a hlavne matematického myslenia a objavovania, teda štúdiu heuristiky.
Na základe svojich vedomostí a poznatkov z heuristiky Polya napísal niekoľko kníh, v ktorých dáva návhry na zmenu vyučovania matematiky, už od základných škôl. Na jednej zo svojich prednášok, už v roku 1969, Polya povedal: 
„Myslím, že jedným zo základných cieľov základných škôl by malo byť oboznámiť žiakov s taktikou riešenia úloh. Nie len riešiť také či onaké úlohy, riešiť dlhé príklady na delenie a násobenie a podobné veci, ale vybudovať v nich všeobecný postoj k riešeniu úloh.“
Polya videl riešenie úloh ako „jednu tretinu matematiky a dve tretiny zdravého rozumu“. Toto bola taktika, ktorú Polya navrhol učiteľom matematiky na amerických stredných školách. Polya dodal:  „Ak vo vyučovaní matematiky nebude táto taktika, potom matematika nebude spĺňať dva základné ciele: Nedá správny prístup k riešeniu úloh budúcim matematikom, a tým, ktorí sa nebudú matematike venovať ďalej nedá podstatu všeobecného vzdelávania.“

2. How to solve it ako vrcholné dielo matematickej heuristiky

Dielo How To Solve It, ktoré sme v tejto práci nazvali Ako nájsť riešenie, sa dá považovať za vrcholné didaktické dielo Georga Polyu. Svojim štýlom vyhovuje širokému vekovému záberu ľudí, od žiakov na stredných školách, ktorí sa chcú viac venovať matematike a naučiť sa samostatne riešiť úlohy, až po učiteľov, ktorí chcú pomôcť svojim študentom rozvíjať ich matematické myslenie a naučiť ich správne pristupovať k riešeniu úloh. 
Aby autor dosiahol požadovaný efekt svojho diela, inšpiroval sa svojimi skúsenosťami s riešením úloh a tiež základnými princípmi heuristiky. How To Solve It  je vlastne zbierka heuristických myšlienok, ktoré vyučoval študentov matematiky. Opisuje v nej spôsoby, ktorými sa môžme pozerať na úlohy a hľadať ich riešenia.
How To Solve It využíva všeobecné jednoduché zákony heuristiky: 
-	ak máš ťažkosti s porozumením úlohy, skús si ju načrtnúť („urob náčrt“).
-	ak nemôžeš nájsť riešenie, skús predpokladať, že si ho už našiel a pokús sa riešiť úlohu od konca, („riešenie pospiatky“).
-	Ak je v úlohe niečo abstraktné, pokús sa nájsť konkrétny príklad („nájdi jednoduchšiu úlohu“). 
-	Najprv vyrieš všeobecnejšiu úlohu („paradox náročnosti“: náročnejší plán má viac šancí na úspech).
How To Solve It nám navrhuje aj postup ako má riešenie úloh vyzerať. Tento postup riešenia úloh je aplikovateľný nie len na matematické úlohy, ale na úlohy z rôznych oblastí, napríklad krížovky a anagramy. 
Spomínaný postup, ktorý je opísaný v danej knihe, pozostáva zo štyroch častí. V každej časti sú zhrnuté otázky a návrhy, ktoré podnecujú myslenie študenta a smerujú ho k žiadanému cieľu. 
Prvým krokom k úspešnému vyriešeniu úlohy je jej pochopenie. Keď nemáme jasnú predstavu o tom, čo sa od nás v úlohe vyžaduje a kam vlastne smerujeme, nemôžme ani vedieť ako sa tam máme dostať, a aký smer zvoliť. K pochopeniu úlohy a všetkých jej častí nám môžu dopomôcť tieto otázky a návrhy: 
- 	Čo je neznáma? Čo je dané? Aké sú podmienky? Je možné vyhovieť podmienke? Je podmienka postačujúca na určenie naznámej? Alebo je nepostačujúca? Je nadbytočná? Je protichodná? Urob náčrt a zvoľ vhodné označenie. Vedel by si oddeliť jednotlivé časti zadania?
Všetky tieto otázky vedú a upriamujú pozornosť študenta na zadanie úlohy ako také a nútia ho rozmýšľať a uvažovať nad jeho jednotlivými časťami. Často sa totiž stáva, že študent začne riešiť úlohu bez toho, aby poriadne vedel, čo vlastne hľadá. Snaží sa len podľa naučeného typu úlohy spomenúť si na vzorce, ktoré by „asi“ mohli vyhovovať a snaží sa do nich dosadiť údaje, ktoré mu zadanie ponúka. Takéto riešenie však vedie k nedorozumeniam, nesprávnym a nezmyselným výsledkom. Preto je nevyhnutné, aby si študent, skôr než sa pustí do hľadania riešenia, poriadne zatriedil myšlienky a určil smer, po ktorom sa má za riešením vydať.  	
Keď pochopíme všetky časti úlohy a vytvoríme si predstavu o tom, kam sa potrebujeme dostať, mali by sme vypracovať plán, podľa ktorého dosiahneme požadovaný výsledok. Cieľom tejto časti riešenia úlohy je aj nájsť vzťah medzi danými údajmi a neznámou. Ak nás hneď niečo nenapadne, môžme pouvažovať o použití nejakých pomocných prvkov alebo pomocných úloh.  
-	Videl si to už niekedy? Alebo videl si tú istú úlohu v inej podobe?  Poznáš nejakú podobnú úlohu? Vieš si spomenúť na nejakú vetu, ktorá by mohla byť užitočná? Pozri sa na neznámu! A skús si spomenúť na úlohu, v ktorej si mal tú istú alebo podobnú neznámu. 
-	Ak nevieš vyriešiť danú úlohu, pokús sa najskôr vyriešiť nejakú podobnú jednoduchšiu úlohu. Poznáš nejakú jednoduchšiu prístupnejšiu úlohu? Všeobecnejšiu úlohu? Špecifickejšiu úlohu? Analogickú úlohu?
V tradičných školách sú študenti málokedy vedení k tomu, aby boli nútení rozmýšľať ako sa majú k riešeniu dopracovať. V zadanej úlohe, aj keď správne určia neznámu, majú dané všetky ostatné údaje, ktoré len jednoducho pospájajú, dosadia do vzorca a dostanú hľadaný výsledok. Ak však chceme rozvíjať u žiakov logické myslenie, mali by sme im dávať viac úloh, v ktorých potrebujú používať aj vedomosti, ktoré získali v priebehu predchádzajúcich hodín. Dať im možnosť kombinovať, hľadať analógie, využívať to, čo majú v pamäti. Takéto učenie by pre nich bolo určite povzbudením, pretože by si uvedomili, že to, čo sa naučili používajú ďalej, videli by nový zmysel využitia toho, čo už v podstate vedia. Našli by medzi úlohami nové súvislosti, a tým by sami prispeli k rozvoju svojho myslenia. 
Ak sa nám podarí nájsť podobnú úlohu, musíme porozmýšľať či by bolo možné ju nejakým spôsobom použiť pri riešení našej pôvodnej úlohy. 
-	Toto je úloha podobná našej a už vyriešená. Vedel by si ju použiť? Vedel by si oužiť výsledok tejto úlohy? Vedel by si použiť spôsob riešenia tejto úlohy? Potrebuješ do úlohy zaviesť nejaký pomocný prvok, aby si mohol túto úlohu použiť? 
Ak sa nevieme pohnúť a zasekneme sa v tomto bode, mali by sme sa pokúsiť vyriešeiť aspoň časť úlohy, alebo pokúsiť sa o nejakú jej obmenu. 
-	Vedel by si preformulovať zadanie úlohy? Vedel by si to povedať ešte inakšie? Vedel by si vyriešiť aspoň časť úlohy? Zachovaj len časť podmienky a druhú časť vynechaj. Do akej miery je teraz neznáma určená? Podľa čoho sa bude meniť?
Tieto otázky navádzajú študenta k práci s údajmi, ktoré má k dispozícii. Ak naozaj zadanie úlohy pochopil, potom by preňho nemal byť problém povedať si to zadanie inými slovami, nemal by mať strach, že mu vypadne nejaký údaj alebo niektorá podmienka. Keď si uvedomí ako a podľa čoho sa úloha mení a overí si viac obmien, môže ho to priviesť k výsledku alebo k novému zisteniu, ktoré ho k výsledku privedie.  
Môže sa stať aj to, že prehliadneme nejaký bod zadania alebo nám nejaká časť unikne. Preto je dobré vrátiť sa k pôvodným informáciám, z ktorých sme začali čerpať. 
-	Vráť sa k definícii. Vedel by si zo zadania odvodiť nejakú užitočnú informáciu? Vieš si predstaviť nejakú podmienku, ktorá by bližšie špecifikovala neznámu? Vedel by si zmeniť dané údaje alebo neznámu, alebo oboje tak, aby boli neznáma a dané údaje k sebe bližšie? Použil si všetky údaje? Použil si celé zadanie? Zobral si do úvahy všetky podstatné prvky úlohy. 
Ak sa študent v tejto časti zasekne a nebude sa vedieť posunúť v riešení ďalej, tieto otázky zamerajú jeho pozornosť opäť na začiatok úlohy, kde si môže všimnúť či naozaj pracuje so všetkými údajmi a berie do úvahy všetky podmienky, ktoré boli v zadaní spomenuté. Stáva sa, že študent sa v priebehu riešenia úlohy motá okolo jedného bodu a nevie sa pohnúť ďalej, a práve jedna z týchot otázok mu môže pomôcť uvedomiť si, že zanedbal niečo dôležité, podstatné, čo mu pomôže nájsť ten chýbajúci prvok. 
Keď máme plán úlohy a vidíme jasne a zreteľne všetky časti úlohy a zobrali sme do úvahy všetky podmineky kladené na neznámu, môžme sa pustiť do realizácie plánu. Pri realizácii plánu by sme mali dbať na to, aby sme prekontrolovali každý každý krok, ktorý urobíme. Aby sme mali tento fakt na zreteli, mali by sme sa držať týchto otázok:
-	Vidíš úplne jasne, že tento krok bol správny? Vieš dokázať, že je správny?
Táto časť úlohy je plná výpočtov „hrania sa“ s číslami. Otázky, ktoré tu autor ponúka alebo navrhuje pomôžu študentovi vyhnúť sa numerickým chybám, ktoré sú také časté. Je veľmi ľahké urobiť numerickú chybu, čo môžu určite potvrdiť aj skúsení matematici. Preto by sme mali naučiť študentov overiť si každý krok, každý výpočet, každý medzi-výsledok, ktorý zapíšu. Jedno zle zapísané číslo môže ovplyvniť celý výsledok, a preto by sme mali naučiť študentov ako sa týmto chybám vyvarovať.
Po realizácii plánu sme sa dostali ku konečnému výsledku. Ak sme správne postupovali a dbali na každý krok pri realizácii plánu, mal by byť výsledok sprvávny. Žiadna úloha sa však nemá končiť realizáciou plánu, pretože práve vtedy, keď máme pred sebou vyriešnú úlohu, ponúka sa nám najlepšia príležitosť naučiť sa niečo nové a pochopiť úlohu ešte lepšie. Máme možnosť overiť si výsledok,  pracovať s ním, ďalej ho obmieňať a testovať. Čím viac s úlohou pracujeme, tým viac ju spoznávame:
-	Otestuj svoj výsledok. Vieš si overiť správnosť svojho výsledku? Vedel by si sa dopracovať k riešniu iným spôsobom? Vidíš teraz riešenie na prvý pohľad? Vedel by si použiť spôsob riešenia tejto úlohy v nejakej inej úlohe?
Veľmi bežnou chybou, aj u veľmi dobrých študentov je, že sa nezamýšľajú nad výsledkami, ktoré dosiahnú. Akonáhle sa dopracujú k výsledku, úloha pre nich končí. Ak však študent rieši úlohu tak, že ani poriadne nevie, o čo v danej úlohe išlo, často sa dopracuje k úplne nezmyslenému výsledku. Tieto otázky študenta vyzývajú k tomu, aby ani po všetkom úsilí, ktoré do úlohy vložil, aspoň trocha, použijeme výraz, „pochyboval“ o svojom výsledku, aby ho podrobil skúške správnosti, aby sa uistil, že výsledok, ku ktorému sa dopracoval je naozaj reálne možný. Ak výsledok viacnásobne overí, sám seba utvrdí v tom, že je naozaj správny a súčasne si pri overovaní môže uvedomiť nové fakty, opäť nájsť nové súvislosti, a tým všetkým prispieť k rozvoju svojho logického myslenia.
 Všetky otázky spomenuté v týchto štyroch častiach riešenia úloh motivujú študentov k mysleniu a všetky pomáhajú rozvíjať jeho schopnosť samostatne riešiť úlohy, čo presne odráža myšlienky heuristického prístupu k vyučovaniu matematiky

Záver

Záverom si dovoľujeme uviesť niekoľko myšlienok G. Polyu o vyučovaní matematiky.

„Riešenie úloh je praktická zručnosť rovnako ako plávanie, lyžovanie alebo hra na klavír: dá sa to naučiť napodobňovaním a cvikom. Ak sa chceme naučiť plávať, musíme ísť do vody, a ak sa chceme naučiť riešiť úlohy, musíme začať riešiť úlohy.“
„Matematika spočíva v dokazovaní tých najjednoduchších vecí tým najnečakanejším spôsbom.“
„Matematika je najlacnejšia veda. Na rozdiel od fyziky alebo chémie nevyžaduje žiadne drahé zariadenia. Všetko, čo človek na matematiku potrebuje je pero a papier.“
„Je veľa otázok, ktoré môže hlupák položiť, na ktoré múdry človek nebude poznať odpoveď.“
„Keď použijeme správny logický postup v nesprávnom čase, na nesprávnom mieste, môže sa stať najhorším nepriateľom aj správneho štýlu učenia.“
„Matematik, ktorý dokáže len zovšeobecňovať je ako opica, ktorá vie liezť len hore na strom a matematik, ktorý vie len špecifikovať je ako opica, ktorá vie liezť len dole zo stromu. Ani jedna z týchto opíc nie je plnohodnotné stvorenie. Opica musí byť predsa schopná nájsť si potravu a utiecť pred nepriateľom, to znamená, že potrebuje vedieť liezť aj hore aj dole po strome. Rovanko skutočný matematik musí vedieť aj zovšeobecňovať aj špecifikovať.“
„Matematika je v skutočnosti lenivá. Necháva všetku prácu na pravidlách, takže my nemusíme robiť takmer nič.“
„Elegancia matematickej vety je priamo úmerná počtu nezávislých myšlienok, ktoré nás pri nej napadnú a nepriamo úmerná úsiliu, ktoré musíme vynaložiť, aby sme ich našli.“
„Aby učiteľ dokázal efektívne učiť, musí mať pre daný predmet cit. Jeho študenti nikdy nepocítia krásu predmetu, ak ju necíti učiteľ sám. Nikdy sa s nimi nebude môcť podeliť o nadšenie, ak ho sám necíti. Žiaci vnímajú dôležitosť predmetu presne tak, ako ju vníma učiteľ. On sám teda musí cítiť jeho dôležitosť.“                                                                                     
„Pri vyučovaní budúcich matematikov môžete urobiť niečo veľmi múdre: Najprv ukázať študentom heuristický dôkaz a až potom striktný matematický dôkaz, ktorého hlavná myšlienka bola naznačená v heuristickom dôkaze. Tým môžete urobiť pre svojich študentov niečo veľmi dôležité: Môžete ich naučiť robiť výskum.“        
„Začnite niečím známym, užitočným a vyzývavým: napríkald hľadajte spojitosť s predmetmi okolo seba, pokúste sa to na niečo aplikovať, použiť svoju intuíciu.“
„Vôbec sa nebojte používať hovorové výrazy, ak to v danej chvíli považujete za vhodnejšie ako presný odborný termín. Pravidlom by malo byť, aby sme nepoužívali nové odborné pojmy, až kým študenti nemajú potrebu dané prvky pomenovať.“
„Neponáhľajte sa do príliš veľkých detailov dôkazu. Najprv hľadajte hlavnú myšlienku alebo intuitívny náčrt dôkazu.“
„Všeobecne povedané, uvedomte si, že najlepší spôsob učenia je po stupňoch.: V prvom rade by sme mali mať prehľad o úlohe, potom hľadať konkrétny zdroj alebo možný spôsob jej využitia. Postupne, keď vidíme spojitosti, zvyšuje sa náš záujem o úlohu a máme viac vôle vložiť do riešenia viac námahy a úsilia ako na začiatku.“
Veríme tomu, že na základe týchto myšlienok, životného odkazu autora a na základe jeho diela How To Solve It (Ako nájsť riešenie)  sa môže zlepšiť vyučovanie matematiky na našich školách.

Literatúra

[1] 	Fulier, J., Šedivý, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky,  FPV UKF Nitra, 2001, ISBN 80-8050-445-8
[2] 	Polya, G.: How to solve it, Penguin Books, London 1990, ISBN 0-14-012499-3
[3] 	Sandanusová, A., Stollár, T.: Prečo vyučovať názorne, In: XXI. mezinárodní kolokvium o řízení osvojovacího procesu. Zborník abstraktov a elektronických verzií príspevkov na CD-ROMe, Vyškov 2003, ISBN 80-7231-105-0
[4]      George Polya [online]. Aktualizácia 13. 11. 2006. Dostupné na      
           <http://www.amt.canberra.edu.au/polya.html>
Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc. 
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky
Fakulta prírodných vied
Žilinská univerzita v Žiline
Hurbanova 15
SK – 010 26  Žilina
e-mail: tomas.lengyelfalusy@fpv.uniza.sk