O objevu transcendentních čísel
About the Invention of Transcendental Numbers

Jan Houska
Výzkumný ústav pedagogický v Praze
e-mail: houska@vuppraha.cz

„Algebraická čísla jsou rozeznatelná jako hvězdy na čisté obloze, transcendentály
            představují okolní temnotu.“ (E.T.Bell)

Abstract
           
This article is an information about the title W.Dunham, The Calculus Gallery (Masterpieces from Newton to Lebesgue), Princeton University Press 2005 – one of many books of the USA provenance devoting to using  the history of mathematics in pedagogy. The chapters of this book are: Newton, Leibniz, The Bernoullis, Euler, First Interlude, Cauchy, Riemann, Liouville, Weierstrass, Second Interlude, Cantor, Volterra, Baire, Lebesgue. I have chosen the chapter Liouville – the topic about the invention of transcendentals that is a little out of the main stream of  this work which is the history of the foundations of mathematical analysis. The gist is the result of French mathematician J.Liouville who created the first transcendental number  and the following success of Hermite and Lindemann. These acts needed new tools - analysis was coming at age. The Cantor´s theory of infinite sets was presented as counterpoint of Liouville. The author turned out that the Liouville-Cantor interplay can serve as a  powerful reminder of the continuing vitality of mathematics.                

1. Úvod

Příspěvek je upozorněním na titul (jeden z mnoha ze současné provenience  USA), který je aplikací dějin matematiky v didaktice předmětu. Jedná se o knihu A. Dunhama, Calculus Gallery   Dílo obsahuje tyto kapitoly: Newton, Leibniz, The Bernoullis, Euler, First Interlude, Cauchy, Riemann, Liouville, Weierstrass, Second Interlude, Cantor, Volterra, Baire, Lebesgue.  Nejde však o biografické medailony, ale o matematické ideje spjaté s těmito jmény a jejich historický vývoj. Jako ukázku jsem vybral výňatek z kapitoly o J. Liouvillovi  a  o G.Cantorovi, který se týká  objevu transcendentních čísel - tématu, jež se poněkud vymyká bezprostřednímu vývoji základů matematické analýzy, jemuž je kniha věnována. 

2. Termín a pojem „transcendentní“

Termín „transcendentní“ se objevil u Leibnize v souvislosti s pojmem „transcendentní křivky“ na rozdíl od křivky „algebraické“. Upřesnil jej Euler, který v Introductio in analysin infinitorum (1748)  vypisuje algebraické operace „sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování, odmocňování a řešení rovnic“, jiné operace byly transcendentní – operace s exponenciálními funkcemi, „logaritmy čísel, které nejsou mocninami základu“ a jinými veličinami, které „hojně poskytuje integrální počet“. J.Wallis (1656) poznamenal, že číslo π má zvláštní charakter, Euler vyslovil názor, že π  nelze vyjádřit „konečnými operacemi pomocí radikálních veličin“, podobně se domníval, že log23 je číslo transcendentní, a dokázal iracionalitu čísla e a e2 (1737), pro x racionální nenulové též  .  Lambert také dokazoval  iracionalitu čísla π a e (1766) a vyslovil domněnku, že tato čísla nenáleží k „radikálním iracionalitám“. Lambertovy důkazy upřesnil Legendre, který definoval a hypotetizoval transcendentnost s poznámkou, že její důkaz bude velmi obtížný. Avšak existence transcendentních čísel nebyla jistá. Proč by měla existovat čísla, která nejsou kořeny polynomů s racionálními nebo celými koeficienty ? A pokud ano, do jaké míry jsou výjimečná ?

3. Liouville a objev transcendentního čísla
    
Joseph Liouville (1809-1882)-francouzský matematik a souputník A.L.Cauchyho- pocházel z Lotrinska, studoval na École polytechnique a École des Ponts et des Chaussées, učil na École polytechnique (1831-51) a na College de France (1851-1879) a na Faculté des Sciences (1857-1874), člen Akademie věd (1839) a Byra pro zeměpisnou délku - v revolučním roce 1848 byl zvolen poslancem národního shromáždění Francouzské republiky. V matematice je jeho jméno spojeno s Liouvillovou-Sturmovou větou z teorie diferenciálních rovnic, Liouvillovou větou z teorie funkcí komplexní proměnné, v historii vědy je znám jako editor časopisu Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouvillův žurnál 1836). Liouville  našel metodu důkazu pro neelementárnost jistých integrálů (1835): „Snadno se lze přesvědčit, že integrál , kterým se geometři často zabývají, není možný v konečném tvaru.“ Tím navždy zpochybnil domněnku, že jednoduché funkce musí mít jednoduché primitivní funkce. 
       Liouville dokázal existenci transcendentního čísla (1844, publikováno zjednodušeně 1851).  Vyšel z nerovnosti (Liouvillovy):   Jestližeje iracionální algebraické číslo stupně n, pak existuje kladné reálné číslo A tak, že pro každé racionální  p/q  platí  . V knize jsou uvedeny dva důkazy této věty a její demonstrace pro = , q = 5.
Druhý důkaz je velmi jednoduchý, využívá větu o střední hodnotě. (Speciální případ Liouvillovy nerovnosti pro n = 2 měl již Lagrange v souvislosti s důkazem, že kvadratické iracionality jsou charakterizovány periodickými řetězovými zlomky.)
Přibližně o sto let později (ve 30.letech 20.století) A.O.Gel´fond formuloval postačující podmínku pro transcendenci čísla ω (jako neplatnost Liouvillovy nerovnosti) takto
                                                    
Z Liouvillovy nerovnosti plyne, že racionální čísla jsou špatnými aproximacemi algebraických čísel,  výsledek nebyl zvlášť překvapující, ani obtížně dokazatelný, jeho význam byl v tom, že umožnil konstrukci transcendentního čísla. Liouville sestrojil  reálné číslo a dokázal, že je to číslo transcendentní. Je snadné nahlédnout, že tato řada je konvergentní a součet je číslo iracionální (protože má neperiodický desetinný rozvoj), jádro spočívá v důkazu transcendence pomocí Liouvillovy nerovnosti. E.T.Bell poznamenává, že je mnohem obtížnější dokázat transcendentnost speciálního čísla, než nalézt celou třídu transcendentálů. Určité číslo je pánem situace a matematik v tomto případě je nucen se podrobit jeho příkazům. Liouville se vlastně původně pokoušel dokázat transcendentnost čísla e, což byla vášeň matematiků, a dokonce se domníval, že se mu podařilo dokázat transcendenci čísla π. Nicméně jeho historicky první  konstrukce transcendentálu byla úspěchem, o nějž se usilovalo sto let.
Liouville využívá v matematice nové nástroje (nerovností, konvergence, větu o střední hodnotě) a dosahuje pomocí nich nových výsledků, jeho matematická metoda je důkazem vnitřního vývoje oboru – dozrávání matematické analýzy.    
  
4. Hermitova-Lindemannova věta o transcendenci

Původního Liouvillova cíle (transcendence čísla e)  dosáhl Ch.Hermite (1873)  a F.Lindemann (1882) dokázal transcendenci čísla π. To byl úspěch tisíciletí, který dokazoval nemožnost euklidovské kvadratury kruhu. Tyto výsledky stavěly na díle Liouvilleově.
Hermitova-Lindemannova věta  říká, že výraz  , kde všechny koeficienty Ai jsou algebraická čísla různá od nuly a kde exponenty i jsou také navzájem různá algebraická čísla, se nemůže rovnat nule (lineární nezávislost).
Ch.Hermite dokázal obdobu tohoto tvrzení v Comptes  Rendus (1873) pro koefiecienty a exponenty racionální (vyšel z důkazu iracionality e), důkaz pro π viděl jako těžko zvládnutelný.F.Lindemann publikoval uvedený výsledek v Berliner Sitzungsberichte (1882) (též v Mathematische Annalen), Lindemannův důkaz vycházel z Hermita, ale potřeboval mnohem silnější matematické prostředky - byl zjednodušen K.Weierstrassem (1885) a později P.Gordanem (1893). Další důkazy podali D. Hilbert, A.Hurwitz, F.Mertens, kniha  uvádí důkaz podle učebnice algebry H.Webera (1842-1913). Kromě transcendence čísla e je důsledkem zmíněné věty  a vztahu   transcendence čísla π, jiným důsledkem je neexistence bodů s oběma algebraickými souřadnicemi (algebraických bodů) na grafech funkcí y = ex,  y = ln x, y = sin x  kromě zřejmých výjimek (po řadě ). Zamyslíme-li se nad tím, že  množina algebraických bodů v rovině je hustá, je pozoruhodné, že se tyto křivky takto algebraickým bodům vyhýbají a zároveň dostáváme oprávnění pro termín „transcendentní křivka“. 
Transcendentní čísla nejsou stejně dobře aproximovatelná racionalitami ve smyslu Liouvillovy nerovnosti. Ta, pro něž platí tato nerovnost, se nazývají Liouvillova. K.Mahler (1932) navrhl dělení transcendentních čísel, které spočívá na stupni jejich aproximace  čísly algebraickými. 
I dnes patří určení, zda je dané číslo transcendentní, k nejobtížnějším matematickým problémům. V roce 1929 A.O.Gel´fond dokázal, že pro a algebraické , b imaginární kvadratické, je  transcendentní, např. , rok nato R. Kuzmin vyřešil totéž pro reálné kvadratické iracionality. A.O.Gel´fond a T.Schneider (1934) dokázali: Jestliže  a je algebraické různé od 0 a 1, b iracionální algebraické, pak  je transcendentní (využili metody C.L.Siegela). Tím byl  vyřešen 7.Hilbertův problém (Paříž 1900).Hilbert vyšel z Hermita a Lindemanna a uvažoval o mocnině , kde základ je algebraický (s výše uvedenými triviálními výjimkami) a exponent algebraický iracionální, např. , dále o čísle  s hypotézou, že jde o číslo transcendentní a nebo alespoň iracionální. Hilbert byl skeptický k jeho řešení - v roce 1919 tvrdil, že se žádný z posluchačů nedočká důkazu, že  je transcendentní. Věřil však, že  brzy bude dokázána známá Riemannova hypotéza.  „Je jisté, že řešení těchto a podobných problémů musí vést ke zcela jiným metodám  a novému vhledu do podstaty speciálních čísel iracionálních a transcendentních.“ Byl přesvědčen, že tento výsledek bude mít více důsledků než důkaz Riemannovy nebo neméně slavné Fermatovy hypotézy. Dnes víme, že   jsou transcendentní čísla. Na druhé straně povaha čísel πe, ee, ππ, ani čísel π + e, π.e není v tomto ohledu vyšetřena, i když přesvědčení je pevné.  Gel´fond-Schneiderův výsledek zobecnil Alain Baker (1966-7) a dokázal jistou Gel´fondovu domněnku ohledně diofantovských rovnic, která s těmito problémy  souvisí.   

5.  Cantorova teorie nekonečných množin

Svou teorií množin G.Cantor nastavil nový směr matematické analýzy a našel kontrapunkt k Liouvillovu objevu. Vzájemná interakce metody Louvillovy a Cantorovy je důkazem životnosti matematiky. Cantor publikuje v Mathematische Annalen (1874) stať  „Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“, kde  slibuje „nový důkaz věty prvně dokázané Liouvillem“, zde dokázal úplnost a nespočetnost množiny reálných čísel. Hlavní myšlenka se opírá o větu:  Jestliže  je posloupnost různých reálných čísel, pak libovolný otevřený interval  reálných čísel obsahuje bod, který nepatří k posloupnosti .Termín nespočetnosti a idea kardinálních čísel přišla později,  známá diagonální metoda  až roku 1891. Jako korolár uvádí důkaz spočetnosti množiny všech algebraických čísel, odkud ihned plyne existence a nespočetnost množiny všech reálných a transcendentních čísel. Tím padla zažitá představa o výjimečnosti transcendentních čísel a odhaluje se nečekané bohatství ve struktuře  číselné osy – kontinua.
Cantorův důkaz je nekonstruktivní, ale velmi elegantní…W.Dunham předkládá příměr s hledáním jehly v kupkách sena. Představme si Liouvilla v pracovním oděvu, jak běhá po louce a hrabe se v seně pod pálícím sluncem. Za několik hodin, když je celý propocený a ušpiněný, ho píchne do prstu odměna – jehla! Na druhé straně Cantor sedící v pohodlí doma užívá pouhý rozum, uvažuje, že hmota kupy s jehlou převyšuje hmotu stejné kupy pouhého sena a navrhuje zvážit kupy. Z toho usoudí, že v jedné těžší je jehla. Na rozdíl od Liouvila je  klidný a neumazán …I když Cantor  ukázal, že transcedentní čísla jsou tím senem, ne jehlami.
Někteří matematici měli potíže s Cantorovým důkazem. Zdál se jim příliš snadný až nesolidní jako kouzelnický trik. B.Russell ve vzpomínce na své mládí napsal: „Strávil jsem dost času čtením G.Cantora a opisováním hlavních myšlenek do sešitu. Tehdy jsem se domníval, že všechny důkazy jsou špatné,  nicméně jsem všechny prošel do nejmenšího detailu. Spravilo mi později náladu, když jsem zjistil, že ve všech případech byl omyl na mé straně.“ 
 Pojmem spočetnosti  Cantor vyjasnil otázku množinové zanedbatelnosti z hlediska kardinality (mohutnosti), kapitoly Baire a Lebesgue   popisují vznik a rozlišení topologické a měrové zanedbatelnosti, omyly a dramatičnost tohoto objevu i jeho dalekosáhlý význam.

Literatura

 DUNHAM, W, The Calculus Gallery (Masterpieces from Newton to Lebesgue),
     Princeton University Press, Princeton and Oxford  2005

 LÜTZEN, J., Joseph Liouville (1809-1882): Master of Pure and Applied Mathematics,
     New York - Berlin 1990

 DÖRRIE, H., 100 Great Problems of  Elementary Mathematics  (Their History and
    Solution) Dover Publications, Inc., New York 1965
 WIĘSŁAW,W., Matematyka i jej historja, Wydawnictwo Nowik,  Opole 1997

 DIEUDONNÉ, J., Geschichte der Mathematik 1700 – 1900, Ein Abriss, VEB Deutscher
Verlag der Wissenschaften, Berlin 1985