Faktorová analýza testu S. Harterové

Marie Budíková
Masarykova univerzita v Brně, Přírodovědecká fakulta, Katedra aplikované matematiky  
e-mail: budikova@math.muni.cz 

Helena Koutková
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav matematiky a deskriptivní geometrie 
e-mail: koutkova.h@fce.vutbr.cz 

Šárka Portešová
Masarykova univerzita v Brně, Fakulta sociálních studií,
Institut výzkumu dětí, mládeže a rodiny, 
e-mail: portes@fss.muni.cz 

Abstrakt 

Příspěvek se zabývá využitím metod explorativní faktorové analýzy při statistickém zpracování výsledků testu S. Harterové, v němž třídní učitelé hodnotí děti v patnácti položkách na čtyřbodové stupnici. Datový soubor byl získán v rámci grantového projektu GAČR 406/02/D143 a obsahoval údaje o šedesáti dětech. 
Ukázalo se, že v pozadí uvažovaných patnácti položek stojí pět společných faktorů, které se vztahují k oblasti chování dítěte, jeho pohybovým a školním dovednostem, sociální akceptaci vrstevníky a fyzickému vzhledu dítěte. Těchto pět faktorů vyčerpává téměř 73% variability obsažené v datech. Faktory vztahující se k pohybovým dovednostem, školním dovednostem a fyzickému vzhledu jsou velmi dobře určeny lineárními kombinacemi vždy tří skupin proměnných, zatímco faktory vztahující se k oblasti chování a sociální akceptace nejsou tak jednoznačně určeny kvůli proměnné, která vyjadřuje oblíbenost dítěte v kolektivu posouzenou učitelem. Jako vhodné řešení tohoto problému se jeví jiná formulace této položky.

1. Úvod 

Institut výzkumu dětí, mládeže a rodiny při FSS MU se mimo jiné zabývá problematikou rozumově nadaných dětí tj. těch, jejichž IQ je aspoň 130. Výzkumný tým vedený Mgr. Šárkou Portešovou, Ph.D shromáždil v rámci grantu GAČR údaje o několika desítkách nadaných dětí vybrané věkové skupiny a také kontrolní skupiny dětí, které nesplňují kritéria pro zařazení mezi rozumově nadané děti. V průběhu podrobného klinického vyšetření dítěte byly získány údaje týkají se např. intelektových schopností dětí, jejich sociálních, emocionálních a osobnostních charakteristik (sebepojetí, sebehodnocení a vědomí vlastní účinnosti) a dále bylo zaznamenáno hodnocení dětí učiteli a matkami. 
V tomto příspěvku se zaměříme na jednu oblast tohoto rozsáhlého a v ČR ojedinělého výzkumu, a to na oblast hodnocení dětí  jejich třídními učiteli. Pro tyto účely byl použit v USA velmi rozšířený test S. Harterové nazvaný Teacher's Rating Scale of Child's Actual Behavior (Harter, 1985). V 15 položkách hodnotil učitel každé dítě na škále od 1 do 4 bodů. Metodami faktorové analýzy se prokázalo, že v pozadí těchto 15 položek stojí 5 faktorů, které odpovídají školním a pohybovým dovednostem dítěte, jeho sociální akceptaci, fyzickému vzhledu a chování.

2. Popis datového souboru

Datový soubor obsahuje údaje o 60 dětech. Průměrný věk dětí je 8 let a 9 měsíců, směrodatná odchylka je 9 měsíců, minimum je 7 let a 1 měsíc, maximum 10 let. V souboru je 28 chlapců, 32 dívek.
Sledované proměnné jsou:
U1 … schopnost zvládnout školní práci
U2 … schopnost snadno se skamarádit
U3 … schopnost dobrého zvládání sportů
U4 … pěkný vzhled
U5 … schopnost dobře se chovat
U6 … kvalita paměti
U7 … množství přátel
U8 … schopnost hrát dobře sportovní hry
U9 … hezký fyzický vzhled
U10 …vhodnost chování
U11 … schopnost odpovídat na otázky ve škole
U12 … oblíbenost mezi vrstevníky
U13 … šikovnost při hraní nových her
U14 … nepěkné vizuální působení
U15 … potíže kvůli provozování nevhodných činností

3. Popis použitých statistických metod

3.1. Formulace modelu faktorové analýzy
Základní princip faktorové analýzy spočívá v tom, že každá z pozorovaných náhodných veličin Yj (j = 1, …, p)  může být vyjádřena jako součet lineární kombinace menšího počtu m nepozorovatelných (hypotetických) náhodných veličin F1, …, Fm - tzv. společných faktorů a  dalšího zdroje variability  Ej (j = 1, …, p)  - tzv. specifické (reziduální) složky. Tj. přepokládáme, že platí model 
,                                                                                     (1)
kde jk je faktorová váha (zátěž) k-tého společného faktoru příslušná k j-té veličině, k = 1, …, m a Ej je náhodná odchylka od přesného modelu příslušná k  j-té veličině, j = 1, …, p. Předpokládáme, že náhodné veličiny Y1, …, Yp jsou standardizované, tj. mají nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl. Standardizací se eliminuje vliv jednotek.
	V maticové formě dostáváme model 
Y = ΛF + E,                                                                                                                  (2)
kde
 	Y = ,  Λ = ,  F = ,  E = .                                          (3)
Matice Λ se nazývá faktorová matice.  Dále předpokládáme, že 
a)	náhodné vektory F a E jsou nekorelované, 
b)	var(E) = diag {u12, …, up2} (tj. náhodné odchylky jsou nekorelované), 
c)	var(F) = I, kde I je jednotková matice řádu m (tj. faktory jsou nekorelované a mají jednotkové rozptyly). 
V tomto případě hovoříme o ortogonálním faktorovém modelu. Podmínky a) a b) nejsou příliš omezující. Model nejvíce omezuje podmínka c), tj. požadavek nekorelovanosti faktorů. V případě, že není splněna, mluvíme o tzv. kosém faktorovém modelu.
Číslo uj2 se nazývá specifický rozptyl (unicita) j-té veličiny a číslo hj2 = 1 -  uj2 se nazývá komunalita j-té veličiny, j = 1, …, p. 
Vzhledem k předpokladům o ortogonálním faktorovém modelu platí:
R(Yj, Ft) = C(Yj, Ft) =,  j = 1, …,  p, t = 1, …, m,                                                   (4)
cor(Y) = var(Y) = Λ Λ'+ var(E).                                                                                   (5)
Matice Λ Λ' = cor(Y) – var(E) se nazývá redukovaná korelační matice. Tato matice je až na hlavní diagonálu shodná s maticí cor(Y). Její diagonální prvky jsou
 j = 1, …, p.                                                                               (6)
Komunalita hj2 veličiny Yj udává část rozptylu veličiny Yj, která je vysvětlena působením společných faktorů, z čehož na k-tý faktor Fk  připadá  . Ze vztahů (5) a  (4) dostáváme 
 j = 1, .., p, t = 1, …, p, j ≠  t.               (7)
Vidíme tedy, že základní princip faktorové analýzy je ekvivalentní s požadavkem existence m společných faktorů F1, …, Fm, které vysvětlují korelace R(Yj, Yt) v tom smyslu, že když vyloučíme jejich vliv, parciální korelace pozorovaných veličin budou nulové.

3.2. Vhodnost použití modelu faktorové analýzy
K posouzení, zda vůbec má smysl provádět faktorovou analýzu (tj. zda korelace mezi veličinami Y1, …, Yp jsou vysvětlitelné pomocí jiných veličin F1, …, Fm) slouží Kaiserova – Meierova – Olkinova statistika (KMO statistika), která je založena na výběrových korelačních a parciálních korelačních koeficientech veličin Y1, …, Yp. K jejímu výpočtu potřebujeme určit realizaci (rij)  výběrové korelační matici R = (Rij) vektoru Y. Musíme mít tedy  k dispozici n realizací každé z náhodných veličin Y1, …, Yp. Získáme je tak, že na n objektech změříme hodnoty p veličin. I-tý objekt je tedy charakterizován p-rozměrným vektorem pozorování 
xi = (xi1, …, xip)', i = 1, …, n. Vektory pozorování uspořádáme do datové matice . Označme  výběrový průměr a  výběrový rozptyl j-tého sloupce datové matice, j = 1, …, p. Nyní zavedeme standardizované hodnoty  a s jejich pomocí vypočteme realizace rij výběrových  korelací Rij veličin Yi a Yj a tedy realizaci matice R. KMO statistiku zavedeme vztahem:
,                                                                         (8)

kde Ri.j.ostatní Y  značí výběrový parciální korelační koeficient veličin Yi a Yj při pevně daných realizacích veličin Y1, …, Yi-1, Yi+1, …, Yj-1, Yj+1, …, Yp. KMO nabývá hodnot mezi 0 a 1. Pro posouzení, zda  má smysl provést faktorovou analýzu, můžeme použít následující Tab. 1.:

KMO statistika	použití faktorové analýzy	
0,90 – 1,00	vynikající	
0,80 – 0,89	chvályhodné	
0,70 – 0,79	středně užitečné	
0,60 – 0,69	průměrné	
0,50 – 0,59	špatné	
0,00 – 0,49	nepřijatelné	

Tab. 1. Interpretace KMO statistiky

Vedle KMO statistiky můžeme rovněž použít Bartlettův test sféricity. Nulová hypotéza tvrdí, že realizace výběrové korelační matice je matice jednotková. Testová statistika je dána vzorcem
.                                                   (9)
Platí-li nulová hypotéza, testová statistika se asymptoticky řídí rozložením. Nulovou hypotézu tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když . Nezamítneme-li nulovou hypotézu, neměli bychom faktorovou analýzu vůbec provádět.

3.3. Odhad  faktorové matice 
Je-li formulován faktorový model, je zapotřebí pro dané m odhadnout faktorovou matici Λ. Z celé řady metod odhadu Λ zde naznačíme metodu hlavních  faktorů a metodu nejmenších čtverců.
	Metoda hlavních faktorů spočívá v aplikaci metody hlavních komponent na odhad redukované korelační matice ΛΛ' = cor(Y) – var(E). Odhad matice Λ se pak provádí iteračním postupem. Za počáteční odhad T0 matice ΛΛ' volíme matici, která je až na hlavní diagonálu shodná s realizací výběrové korelační matice R vektoru Y. Za hlavní diagonálu matice T0, tj. za počáteční odhad komunalit hj2, volíme realizace výběrových mnohonásobných koeficientů determinace veličin Yj s ostatními p-1 veličinami (j =, 1, …, p). Stanovíme m největších vlastních čísel l1,0 ≥ … ≥ lm,0 a jim odpovídajících vlastních vektorů v1,0, …, vm,0  (v1,0' v1,0 = 1, …, vp,0' vp,0 = 1) matice T0. Za odhad matice Λ pak volíme matici  = (v1,0, …, vm,0). Prvky hlavní diagonály matice  jsou pak nové odhady komunalit, které v dalším kroku iteračního postupu dosadíme na diagonálu realizace matice R, čímž zpřesníme odhad realizace redukované  korelační matice. Přistoupíme k novému výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů. Iterační postup zastavíme, pokud absolutní hodnota rozdílu dvou po sobě následujících odhadů komunalit klesne pod předem zvolené malé kladné číslo, např. 0,001 nebo počet kroků převýší předem stanovenou mez, např. 25.
Odhad =() faktorové matice Λ=() pak vyjádříme ve tvaru 
= (v1, …, vm),                                                                                           (10)
kde l1, …, lm jsou vlastní čísla redukované výběrové korelační matice získané v posledním kroku iteračního postupu seřazená sestupně podle velikosti a  v1, …, vm jsou jim odpovídající vlastní vektory, přičemž v1'v1 = 1, …, vm'vm = 1. Potom
•	 je odhad R(Yj, Fk),
•	 je odhad příspěvku k-tého společného faktoru k rozptylu veličiny Yj,
•	součet čtverců prvků v j-tém řádku matice , tj. je odhad komunality hj2, tj. odhaduje tu část rozptylu veličiny Yj, kterou lze vysvětlit působením společných faktorů,
•	součet čtverců prvků v k-tém sloupci matice, tj.  odhaduje příspěvek k-tého faktoru  k celkovému rozptylu  D(Y1) + … + D(Yp) = p. Zřejmě
 		 =  (vk)' (vk) = lk ,   k = 1, …, m                                             (11)
kde lk je k-té největší vlastní číslo matice  a vk je příslušný vlastní vektor. Dostáváme tedy, že rovněž lk odhaduje příspěvek  k-tého faktoru k celkovému rozptylu p. To znamená, že k-tý sloupec matice  vyčerpává  celkového rozptylu, z čehož na j-tou veličinu připadá .
V metodě hlavních faktorů jsou faktory vybrány tak, aby vysvětlily co největší část celkového rozptylu D(Y1) + … + D(Yp) = p veličin Y1 , …,   Yp. V metodě nejmenších čtverců jsou faktory vybrány tak, aby vysvětlily korelace R(Yj, Yk) veličin Yj a  Yk  (j = 1, … , p, k = 1, … p, j ≠  k)  ve smyslu parciálních korelací. Vyjdeme-li ze vztahů (5) až (7), hledáme odhady  prvků matice Λ metodou nejmenších čtverců tak, že určíme bod , ve kterém funkce 
                                                                    (12)
za podmínky nabude absolutní minimum.

3.4. Volba počtu společných faktorů
Zbývá se vrátit k problematice volby počtu m společných faktorů F1, …, Fm. V explorativní faktorové analýze nemusíme mít o tomto počtu jasnou představu. Pokud tato představa existuje, měli bychom spíše použít konfirmativní faktorovou analýzu. 
V explorativní faktorové analýze se vyskytují různá doporučení, jak m zvolit. Pokud nelze přepokládat p-rozměrné normální rozdělení náhodného vektoru Y, nemůžeme pro volbu m použít běžné statistické testy na dané hladině významnosti. Můžeme se ale opřít o několik různých kritérií:
•	Kaiserovo kritérium - za m zvolíme počet těch vlastních čísel matice R, která jsou větší než 1. 
•	Sutinový test (scree test) – grafická metoda, která spočívá v subjektivním posouzení vzhledu sutinového grafu (scree plot), tj. grafu znázorňujícího velikosti sestupně uspořádaných vlastních čísel matice R . Objeví-li se v grafu určité zploštění, pak za m vezmeme to pořadové číslo hlavní komponenty, kde se zploštění projevilo.
•	Kritérium založené na součtu  prvních m největších vlastních čísel matice R – požadujeme, aby tento součet byl „přibližně“ p, tj. aby byl podíl celkového rozptylu pozorovaných veličin dostatečně vysvětlen příslušným faktorovým modelem. 
•	Kritérium založené na reziduální korelační matici po extrakci m společných faktorů, tj. matici 
R -.                                                                                                           (13)
Požadujeme, aby všechny reziduální korelace (tj. mimodiagonální prvky reziduální korelační matice) byly „malé“, např. v absolutní hodnotě menší než 0,1. Pak m faktorů vysvětluje korelační matici pozorovaného vektoru dobře.
Poznámka: Z faktorového modelu je vhodné vyloučit tzv. triviální faktory, tj. faktory, které korelují pouze s jednou z náhodných veličin Y1, …, Yp.

3.5. Rotace  faktorové matice
Je-li počet faktorů m > 1 a současně m < p, není faktorová matice Λ jednoznačně určena vztahem Λ Λ' = var Y - var ε. Splňuje–li matice U řádu m podmínku UU' = I, pak matice Λ* = ΛU rovněž vyhovuje vztahu Λ* Λ*' = var(Y) – var(E). Říkáme, že matice Λ* se získala rotací matice Λ. Nazývá se rotovaná faktorová matice. Vzhledem k tomu, že odhadnuté faktorové váhy musí být snadno interpretovatelné, je cílem rotace získat co nejpřesvědčivější interpretaci faktorů. Požadujeme, aby každá z veličin Y1, …, Yp měla vysoké faktorové váhy u co nejmenšího počtu faktorů a nízké či středně vysoké váhy u zbývajících faktorů. Existuje několik metod rotace, často používaná je metoda varimax navržená v roce 1958 H. F. Kaiserem. Odhady faktorových vah  příslušné k j-té veličině chápeme jako souřadnice bodu v m-rozměrném prostoru. Hlavní myšlenka metody varimax spočívá v tom, že se provádí transformace souřadných os v Rm, dokud souřadnice každé proměnné Y1, …, Yp nejsou blízké buď 0 nebo ±1. Tento záměr vede k maximalizaci rozptylu čtverce odhadu faktorových vah.

3.6. Odhad  faktorového skóre
V některých úlohách je vhodné doplnit faktorovou analýzu o odhady hodnot faktorů F1, …, Fm u jednotlivých výběrových objektů, které charakterizují jednotlivé objekty – tzv. odhad faktorového skóre. Můžeme např. použít regresní metodu, která je speciálním případem Thomsonovy metody. Tj. hledáme lineární regresní odhad  veličiny  založený na vektoru Y. Lze ukázat, že v našem případě dostaneme
 R-1Y,  k = 1, …, m .                                                                        (14)
Označme , potom  
,                                                                                                              (15)
kde   se prakticky nahradí odhadem . Označme dále yi = (yi1, …,  yip) ' standardizovaný vektor pozorování  vztahující se k  i-tému objektu (i = 1, …, n). Potom pro vektor  odhadů faktorových skóre m společných faktorů dostáváme
.                                                                                                        (16)
Poznamenejme, že výše uvedené výsledky platí, ať za  vezmeme rotovanou nebo nerotovanou matici.
4. Výsledky faktorové analýzy a jejich psychologická interpretace 

Při výpočtech byly použity statistické programové systémy SPSS a STATISTICA . Prvotní informace o korelační struktuře datového souboru získáme z realizace výběrové korelační matice uvažovaných patnácti proměnných (viz. Tab.2). (Korelační koeficienty větší než 0,5 jsou zvýrazněny červeně.) 

Tab. 2. Realizace výběrové korelační matice R

Vidíme, že korelace kolísají od -0,23 (korelace mezi U8 a U14) až po 0,88 (korelace mezi U5 a U10). Vysoké vzájemné korelace mají tyto skupiny proměnných: U1, U6, U11; U2, U7; U3, U8; U4, U9, U14; U5, U10, U15. Proměnná U12 sice vysoce koreluje s U7 a U10, avšak korelace mezi U7 a U10 je velmi slabá. Proměnná U13 má poměrně nízké korelace se všemi ostatními proměnnými. Jeví se tedy možné, že v pozadí těchto 15 proměnných stojí pět společných faktorů.
Pro posouzení, zda má vůbec smysl provádět faktorovou analýzu, použijeme Kaiserovu – Meierovu – Olkinovu statistiku (viz vzorec (8)). Její hodnota je 0,73, tedy provedení faktorové analýzy se jeví jako středně užitečné.
Testová statistka Bartlettova testu sféricity nabývá hodnoty 588,274, počet stupňů volnosti je 105, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy hypotézu, že realizace výběrové korelační matice 15 uvažovaných proměnných je jednotková matice, zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Podívejme se nejprve na vlastní čísla realizované výběrové korelační matice  R a na procento vysvětleného rozptylu (viz Tab. 3.)

Tab. 3. Vlastní čísla realizace výběrové korelační matice R 

Pro větší názornost ještě zakreslíme sutinový graf (viz. Obr. 1). Počet m společných faktorů stanovíme pomocí Kaiserova kritéria (viz 3.4.): za m zvolíme počet těch vlastních čísel realizace matice R, která jsou větší než 1. 

Obr. 1. Sutinový graf

Pro extrakci faktorů zvolíme metodu hlavních faktorů popsanou v 3.3. Vlastní čísla výběrové redukované korelační matice  a procento vysvětlené variability máme uvedeny v následující tabulce Tab. 4. 

Tab. 4. Vlastní čísla redukované korelační matice a procento vysvětleného rozptylu

První společný faktor tedy vysvětluje 33,52% variability obsažené v patnácti sledovaných proměnných U1, …, U15, druhý 16,66% atd. Celkové procento vysvětlené variability je 72,94%. Rotaci faktorů provedeme metodou varimax (viz 3.5.) a opět uvedeme vlastní čísla rotované výběrové redukované korelační matice a procento vysvětlené variability (viz Tab. 5.) 

Tab. 5. Vlastní čísla rotované redukované korelační matice 
a procento vysvětleného rozptylu

Odhady komunalit jsou uvedené v Tab. 6. Např. odhad komunality proměnné U1 je 0,71, což lze interpretovat tak, že 71% variabilty proměnné U1 lze vysvětlit působením pěti společných faktorů. U jednotlivých proměnných procento variability vysvětlené působením společných faktorů značně kolísá – od 35,4% u proměnné U13 až po 93,4% u proměnné U7.

Tab. 6. Odhady komunalit

Odhad matice rotovaných faktorových  zátěží je uveden v Tab. 7.

Tab. 7. Odhad matice rotovaných faktorových zátěží

(Červeně jsou zvýrazněny zátěže větší než 0,4.) 
Vidíme, že první faktor má vysoké korelace s proměnnými U5, U10, U15 a značně nižší s proměnnou U12. Druhý faktor  vysoce koreluje s proměnnými U3 a U8, slaběji s U13. U třetího faktoru pozorujeme vysoké korelace s U1, U6 a U11. Čtvrtý faktor má vysoké korelace s U2 a U7, slabší s U12 a pátý faktor vysoce koreluje s U4 a U9, slaběji s U14. Po rotaci připadá na první faktor 2,861 celkového rozptylu (ten je roven 15, tj. počtu uvažovaných proměnných), což je 19,1%. Na druhý faktor připadá 2,303 celkového rozptylu, tj. 15,3% atd.

Interpretace faktorů:
1. faktor … oblast chování
2. faktor … pohybové dovednosti
3. faktor … školní dovednosti
4. faktor … sociální akceptace
5. faktor … fyzický vzhled

Poněkud problematická se jeví proměnná U12, která vyjadřuje oblíbenost dítěte v kolektivu posouzenou učitelem. Tato proměnná by podle psychologických kritérií měla spíše korelovat s faktorem sociální akceptace než s faktorem vztahujícím se k oblasti chování, jak se to projevilo v našem konkrétním datovém souboru. Zřejmě by otázka týkající se položky U12 měla být formulována jinak.

Kvalitu získaného faktorového modelu posoudíme též pomocí odhadnuté korelační matice a reziduální korelační matice. Odhadnutá korelační matice je v Tab. 8. (Diagonální prvky této matice jsou komunality příslušných proměnných.) a odhadnutá reziduální korelační matice je v Tab. 9.

Tab. 8. Odhad korelační matice

Tab. 9. Odhad reziduální korelační matice

Rezidua jsou vcelku malá, kolísají od –0,05 po 0,07. Pouze dvě z nich (tj. 1%) jsou v absolutní hodnotě větší než 0,05.

Pro několik prvních dětí, které jsou zařazené v datovém souboru, uvedeme ještě odhad faktorového skóre získaný regresní metodou:

Tab. 8. Odhad faktorového skóre pro první tři děti

Na odhady faktorových skóre pro daný objekt můžeme pohlížet jako na souřadnice tohoto objektu v m-rozměrném prostoru. Průměr odhadů faktorového skóre fj, j = 1, …, m přes všechny objekty je 0, rozptyl 1.  Spojnicový graf pro první tři děti je na Obr. 2.

Obr. 2. Spojnicový graf faktorového skóre

Vidíme, že první dítě má vcelku vyrovnaná skóre u všech pěti faktorů. Druhé dítě se vyznačuje nízkým skóre v oblasti chování, nejvyššího skóre dosahuje v sociální akceptaci. Třetí  dítě má nízké skóre u faktoru 4, který reprezentuje sociální akceptaci dítěte jeho vrstevníky a rovněž u faktoru 2 – pohybové dovednosti. Naopak dosahuje vysokého skóre u faktoru 3 – školní dovednosti. 

Metoda nejmenších čtverců po stránce interpretace dává analogické výsledky – pouze s tím, že při použití této metody je vysvětlena menší část společného rozptylu a lépe vysvětleny korelace, tedy odhad korelační matice je příznivější.

5. Závěr

Posoudíme kvalitu faktorového modelu z několika různých hledisek:

- KMO statistika = 0,733 (provedení faktorové analýzy se jeví jako středně užitečné).

- Testová statistika Bartlettova testu sféricity = 588,274, počet stupňů volnosti = 105, p-hodnota velmi blízká 0 (korelační matice sledovaných 15 proměnných je s rizikem omylu nejvýše 5% různá od jednotkové matice).

- Odhad modelu založený na metodě hlavních faktorů vysvětluje 72,94% variability obsažené v datovém souboru.

- Komunality (tj. podíly variability jednotlivých proměnných vysvětlené působením pěti společných faktorů) kolísají od 35,4% u proměnné U13 až po 93,4% u proměnné U7.

- Residuální korelační matice má velmi malé prvky, pouze dva z nich jsou v absolutní hodnotě větší než 0,05.

Zhodnotíme nalezené společné faktory:

Metoda hlavních faktorů nalezla pět společných faktorů stojících v pozadí patnácti sledovaných proměnných. Faktory vztahující se k pohybovým dovednostem, školním dovednostem a fyzickému vzhledu jsou velmi dobře určeny lineárními kombinacemi vždy tří skupin proměnných, zatímco faktory vztahující se k oblasti chování a sociální akceptace nejsou tak jednoznačně určeny kvůli proměnné U12, která vyjadřuje oblíbenost dítěte v kolektivu posouzenou učitelem. Jako vhodné řešení tohoto problému se jeví jiná formulace této položky.

Literatura 

[1] 	J. Anděl. Matematická statistika. SNTL/ALFA Praha, 1978. 
[2]       S. Harter.  Self-Perception Profile for Children. Denver. University of Denver, 1985.
[3]	P. Hebák, J. Hustopecký. Vícerozměrné statistické metody s aplikacemi. SNTL/Alfa, Praha 1987.
[4]	R. A. Johnson, D. W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall 	International, Inc. 1992.
[5]	R.P. McDonald. Faktorová analýza a příbuzné metody v psychologii. Academia Praha, 1991. 
[6]       SPSS/PC+ StatisticsTM 4.0. SPSS Inc. 1990.
[7]       STATISTICA for Windows. StatSoft, Inc. 2000.
[8] 	K. Überla. Faktorová analýza. ALFA Bratislava, 1974.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Výzkum byl podpořen grantovým projektem GAČR č. 406/02/D143