Formulace úlohy v metrickém prostoru

Příklad 1. Uvažme rovnici

Pomocí jejího ekvivalentního vyjádření a Obr. 3 lze grafickou metodou usoudit, ze rovnice má jediné řešení a .

Obrázek 3

Řešení rovnice iterací spočívá v jejím vyjádření ve tvaru a v konstrukci posloupnosti postupných aproximací (iterační posloupnosti) tak, že se zvolí a pro Najdeme několik prvních členů iteračních posloupností pro dva tvary dané rovnice:

a) :

 

 

b) :

Je zřejmé, že iterační posloupnost v případě a) nekonverguje (její členy vůbec nelze spočítat) a v případě b) konverguje. Je-li funkce spojitá, pak limita iterační posloupnosti je řešením rovnice :

Protože iterační metody se v matematice používají pro řešení rovnic s neznámými, které jsou nejen čísla, ale i vektory nebo funkce, budeme v dalších úvahách formulovat problém abstraktně. To nám umožní najít velmi obecné podmínky zaručující konvergenci iterační posloupnosti.

Definice. Nechť je neprázdná množina a . Prvek se nazývá pevný bod zobrazení , když .

Definice. Nechť je neprázdná množina a ke každým prvkům je přiřazeno reálné číslo tak, že

D1 ,
D2
D3

Pak se nazývá metrický prostor, prvky z se nazývají body a funkce se nazývá metrika (vzdálenost) v .

Definice. Nechť je posloupnost bodů v metrickém prostoru a . Položíme

jestliže pro [ke každému existuje : pro všechna ].

Každá posloupnost, která má v limitu, se nazývá konvergentní.

Věta 2. Posloupnost bodů metrického prostoru může mít nejvýše jednu limitu.

Definice. Posloupnost bodů metrického prostoru se nazývá cauchyovská, jestliže

[ke každému existuje tak, že

Věta 3. Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská.

Obecně není pravda, ze každá cauchyovská posloupnost je konvergentní.

Definice. Metrický prostor se nazývá úplný, je-li každá cauchyovská posloupnost v konvergentní.

ÚLOHA. Buďte metrický prostor a . Hledáme bod takový, že

   
  Obsah