Newtonova metoda (metoda linearizace)

Předpokládejme, že funkce , mají spojité druhé parciální derivace a že jsou známé aproximace blízko přesného řešení úlohy (11). Aproximujeme-li nulové hodnoty , Taylorovým polynomem prvního stupně v okolí bodu , vznikne

Rozdíl mezi levou a pravou stranou rovnic v (14) je úměrný součinům

což jsou velmi malé hodnoty za předpokladu, že aproximace leží blízko přesného řešení . Nahradíme-li v (14) bod bodem a požadujeme-li přesné splnění rovností (14), vznikne systém rovnic

což je jeden krok řešení úlohy (11) Newtonovou metodou.

Poznámka. V Newtonově metodě se aproximace blíží k přesnému řešení rychle, ale jen tehdy, když je nultá aproximace dostatečně blízko k přesnému řešení .

Příklad 3. Aproximaci kořene úlohy z Př. 2 zpřesněte co nejvíce Newtonovou metodou.

Položíme tedy =(-1.1070,-0.4746). Pak pro

platí

řešením tohoto případu systému rovnice (14) získáme

takže . Stejným postupem byly vypočteny i aproximace a z níže uvedené tabulky.

Za účelem procvičení řešení soustav nelineárních rovnic Newtonovou metodou lze použít cvičení Newtonova metoda pro systémy dvou rovnic o dvou neznámých.

   
  Obsah